حاسبة الجذر التكعيبي

يمكن استخدام هذه الآلة الحاسبة لإيجاد جميع الجذور التكعيبية للرقم المحدد. يجد الجذور الحقيقية والخيالية.

تعليمات الاستخدام

للعثور على الجذر التكعيبي لرقم، أدخل هذا الرقم في حقل الإدخال واضغط على "احسب". ستوضح الآلة الحاسبة الإجابة في جزأين: "الجذر (الحقيقي) الرئيسي"، و "كل الجذور"، حيث تتضمن "كل الجذور" الجذر الرئيسي والجذور التخيلية.

تقبل الآلة الحاسبة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة كمدخلات. الكسور والأرقام التخيلية غير مقبولة. لاحظ أنه إذا كنت تستخدم كسرًا أو رقمًا وهميًا كمدخل، فإن آلة حاسبة الجذور التكعيبية هذه ستتجاهل تلقائيًا كل شيء يتبع الرمز الأول غير الرقمي. على سبيل المثال، إذا أدخلت 8/15، فستحسب الآلة الحاسبة الجذر التكعيبي لـ 8؛ إذا أدخلت 5 + 3i ، فسيتم حساب الجذر التكعيبي لـ 5.

تعريف الجذر التكعيبي

يتم تعريف الجذر التكعيبي لرقم ما على أنه الرقم الذي يجب ضربه ثلاث مرات للحصول على الرقم الأصلي. عادةً ما يُشار إلى الجذر التكعيبي لـ x بالرمز ∛xوفقًا للتعريف،y هو الجذر التكعيبي لـ x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

إذا كان

$$y \times y \times y = x$$

إن أخذ جذر تكعيبي لعدد، ∛x، يعادل رفع هذا الرقم إلى أس 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

عملية الجذر التكعيبي هي عكس عملية إيجاد العملية التكعيبية. للعثور على مكعب الرقم، يجب ضرب هذا الرقم 3 مرات:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

وعكسيا

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

المكعب الكامل

المكعب الكامل هو رقم، جذره التكعيبي عدد صحيح. على سبيل المثال، الرقم 8 هو مكعب مثالي لأن:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

بما أن الأعداد الصحيحة هي أعداد صحيحة يمكن أن تكون موجبة وسالبة، يمكن أن تكون المكعبات الكاملة موجبة وسالبة. على سبيل المثال، -8 هو مكعب مثالي منذ:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 هو أيضًا عدد صحيح و

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

لذلك، 0 هو أيضًا مكعب كامل.

من ناحية أخرى، 4 ليس مكعبًا مثاليًا لأن الجذر التكعيبي الحقيقي لـ 4:

∛4 ≈ 1.58740105

وهو ليس عددًا صحيحًا.

خصائص الجذر التكعيبي

يتم تعريف الجذر التكعيبي لرقم سالب بأنه سالب الجذر التكعيبي لعدد موجب، أي،

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

على سبيل المثال،

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

خاصية الضرب للجذور التكعيبية:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

كيفية حساب الجذر التكعيبي

حساب الجذر التكعيبي الحقيقي لمكعب كامل

لإيجاد الجذر التكعيبي لرقم ما، استخدم طريقة التحليل الأولي:

1. أوجد العوامل الأولية للعدد.
2. قسّم العوامل الأولية إلى مجموعات تحتوي على ثلاثة عوامل متماثلة.
3. خذ عاملًا واحدًا من كل مجموعة واضربه للحصول على الإجابة النهائية.

على سبيل المثال، لنجد جميع الجذور التكعيبية الحقيقية للرقم 3375، ∛3375:

1. بإيجاد العوامل الأولية للعدد 3375، نحصل على 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. بتقسيمهم إلى مجموعات من ثلاثة عوامل متشابهة، نحصل على 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5)
3. أخيرًا، بأخذ عامل واحد من كل مجموعة وضربه، نحصل على 3 × 5 = 15.

إذا كانت العوامل الأولية لعدد لا تشكل مجموعات من ثلاثة، فإن الرقم ليس مكعبًا كاملاً، ولا يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد الجذر التكعيبي.

حساب الجذر التكعيبي الحقيقي لعدد أكبر من -1 وأقل من 1 (باستثناء 0)

إذا كان الرقم المعطى أكبر من -1 وأقل من 1، فلا يمكن أن يكون مكعبًا مثاليًا لأنه بحكم التعريف، فإن المكعب المثالي هو رقم، وجذره التكعيبي هو عدد صحيح. أي رقم y من الفترة -1 < y < 1 ليس 0 لا يمكن أن يكون مكعبًا مثاليًا. ومع ذلك، قد يكون العثور على الجذر التكعيبي الحقيقي لمثل هذا الرقم أمرًا سهلاً نسبيًا في بعض الأحيان.

على سبيل المثال، لنجد جميع الجذور التكعيبية الحقيقية لـ -0.000125 هذا الرقم ليس عددًا صحيحًا. لذلك، لا يمكننا استخدام طريقة العوامل الأولية الموضحة أعلاه.

لكن يمكننا أن نلاحظ بسهولة أن -0.000125 = -125 × 10⁻⁶ لذلك،

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

بتطبيق خاصية الضرب للجذر التكعيبي، نحصل على:

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

إعادة كتابة الجذر التكعيبي للرقم السالب على أنه سالب الجذر التكعيبي للعدد الموجب، نحصل على:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

من السهل ملاحظة أن 125 = 5 × 5 × 5, and 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻² لذلك،

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

و

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

أخيرًا، نحصل على:

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

أمثلة من الحياة الواقعية

تُستخدم الجذور التكعيبية في الحياة الواقعية لإيجاد طول ضلع أي جسم مكعب. على سبيل المثال، إذا كنت تعرف حجم الصندوق وتريد معرفة ارتفاعه، فتحقق مما إذا كان يناسب مكانًا ما. أو، إذا كنت بحاجة إلى تقدير كمية الطلاء، فستحتاج إلى طلاء جدران غرفة مكعبة. أو، إذا كنت بحاجة إلى حساب عدد البلاط، فأنت بحاجة إلى تغطية أرضية غرفة مكعبة بحجم معروف.

الحجم المكعب للخشب

تخيل بناء منزل وإيجاد إعلان لـ 64 متر مكعب من الخشب للبيع. ما أبعاد هذا الحجم من الخشب في الطول والعرض والارتفاع؟

لحل هذه المشكلة، يجب أن تجد الجذر التكعيبي لـ 64. طول ضلع المكعب التخيلي الذي سيساعدك في وصف هذا الحجم سيكون ∛64 = 4 وبالتالي، من البيانات الأصلية المتعلقة بالحجم التكعيبي للخشب، لدينا فكرة مختلفة عن حجم هذا الحجم.