Faktorisierungsrechner

Faktorisierungsrechner

Ein Faktorisierungsrechner ist ein Online-Tool, mit dem Sie schnell alle Faktoren einer beliebigen ganzen Zahl (außer 0) finden können.

Einschränkungen bei den Eingabewerten des Faktorrechners:

• Sie können nur ganze Zahlen (positiv) eingeben.
• Die Eingabe von 0 ist nicht möglich.

Anleitung zur Verwendung

Um alle Faktoren einer Zahl zu ermitteln, geben Sie diese Zahl ein und drücken Sie "Berechnen". Der Factors Calculator gibt die Liste der Faktoren der Zahl und die Gesamtzahl der Faktoren zurück. Der Rechner gibt auch die Faktorenpaare der Zahl zurück.

Faktorisierung: Definitionen und Formeln

In der Mathematik ist die Faktorisierung definiert als ein Prozess der Aufteilung eines Objekts in eine Multiplikation mehrerer anderer Objekte oder Faktoren. Verschiedene mathematische Objekte, wie z.B. Zahlen, Polynome und Matrizen, können faktorisiert werden. Hier werden wir uns auf die Faktorisierung von ganzen Zahlen konzentrieren.

Die Faktoren einer ganzen Zahl sind solche ganzen Zahlen, die die gegebene ganze Zahl ohne einen Rest teilen.

Grundsätzlich gilt für ganze Zahlen a, b und c, die nicht Null sind: Wenn a = b × c ist, dann sind b und c die Faktoren von a. Zum Beispiel sind 1, 2, 3 und 6 alle Faktoren von 6, da sie alle 6 gleichmäßig (ohne Rest) teilen:

• 6 / 1 = 6
• 6 / 2 = 3
• 6 / 3 = 2
• 6 / 6 = 1

Jede ganze Zahl hat immer mindestens zwei Faktoren: 1 und die ganze Zahl selbst, d.h. jedes a kann als a = 1 × a faktorisiert werden.

Wie man Faktoren einer Zahl findet

Der Taschenrechner verwendet die Methode der Probedivision, um die Faktoren einer beliebigen Zahl zu ermitteln. Dies ist der einfachste Algorithmus zur Faktorisierung ganzer Zahlen, bei dem konsequent geprüft wird, ob die Zahl durch alle Zahlen, die kleiner sind als die gegebene Zahl selbst, gleichmäßig geteilt wird.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Prozess weniger umständlich zu gestalten. Zunächst werden die Zahlen immer in aufsteigender Reihenfolge getestet, beginnend mit 2. Nehmen wir an, dass 2 kein Faktor der gegebenen Zahl ist. In diesem Fall werden die Vielfachen von 2 automatisch verworfen, und der Prozess wird einfacher.

Außerdem sollten Sie für das gegebene a die Tests nur bis √a durchführen. Das ist richtig, denn wenn b ein Faktor von a ist, so dass a = b × c ist, dann wäre c, wenn es kleiner als b wäre, bereits als Faktor von a identifiziert worden.

Wir können den Mechanismus auf die folgenden Schritte reduzieren:

Ermitteln Sie für die gegebene Zahl a die Quadratwurzel von a: √a, und runden Sie sie auf die nächstliegende ganze Zahl ab. Bezeichnen wir die abgerundete Quadratwurzel von a als r.

Testen Sie alle ganzen Zahlen, die größer oder gleich 1 und kleiner oder gleich r sind, um zu sehen, ob sie a gleichmäßig teilen. Denken Sie daran: Wenn Sie bereits festgestellt haben, dass eine Primzahl nicht zu den Faktoren der gegebenen Zahl gehört, brauchen Sie die Vielfachen dieser Primzahl nicht mehr zu überprüfen! Wenn Sie beispielsweise festgestellt haben, dass die gegebene Zahl nicht gleichmäßig durch 3 teilbar ist, können Sie alle Vielfachen von 3, wie 6, 9 und so weiter, überspringen.

Schreiben Sie alle Faktoren und die entsprechenden Faktorenpaare auf.

Berechnungsbeispiel

Die Eltern planen eine Geburtstagsparty für ihren Sohn, Mike, der 6 Jahre alt wird. Am Ende der Party möchten sie jedem Kind, das teilnimmt, eine süße Leckerei schenken. Sie haben 32 Muffins vorbereitet, die sie an die Kinder verteilen wollen.

Wie viele Gäste kann Mike zu seiner Party einladen, damit jeder Gast am Ende der Feier die gleiche Anzahl an Süßigkeiten erhält? Wie viele Muffins wird jedes Kind bekommen?

Lösung

Wir müssen herausfinden, wie viele Gäste Mike zu der Party einladen kann, damit jeder Gast die gleiche Anzahl an Muffins von den 32 verfügbaren erhält. Wir müssen herausfinden, welche ganzen Zahlen 32 ohne Rest teilen (so dass die Törtchen nicht in Stücke zerteilt werden müssen). Das heißt, wir müssen alle positiven Faktoren von 32 finden. Um zu bestimmen, wie viele Muffins jedes Kind in jedem Fall bekommt, müssen wir auch die Faktorenpaare finden.

Lassen Sie uns die Methode der Probedivision anwenden, um die Faktoren und die Faktorpaare der gegebenen Zahl zu finden. Als ersten Schritt müssen wir die Quadratwurzel der Zahl ermitteln:

$$\sqrt{32}\approx5.657$$

Wenn wir 5,657 auf die nächste ganze Zahl abrunden, erhalten wir 5. Das bedeutet, dass wir alle ganzen Zahlen, die größer oder gleich 1 und kleiner oder gleich 5 sind, überprüfen müssen.

Für die Zahl 1:

32 / 1 = 32. 1 ist ein Faktor von 32, denn 1 ist ein Faktor von jeder ganzen Zahl: 1 × 32 = 32. Wenn Mike also nur einen Gast hat, bekommt dieser alle 32 Törtchen! Oder wenn er beschließt, 32 Kinder zu seiner Party einzuladen, bekommt jedes Kind am Abend nur einen Törtchen.

Für Nummer 2:

32 / 2 = 16. Das bedeutet, dass 2 ein Faktor von 32 ist. Das entsprechende Faktorenpaar lautet: 2 × 16 = 32. Auch hier sind sowohl 2 als auch 16 die Faktoren von 32 und müssen in die Liste der Faktoren aufgenommen werden. Das bedeutet, dass Mike, wenn er zwei Gäste einlädt, jeder 16 Muffins bekommt. Wenn er jedoch 16 Kinder einlädt, erhält jedes von ihnen am Ende der Party 2 Törtchen.

Für Nummer 3:

32 / 3 = 10 2/3 ≅ 10.667. Das bedeutet, dass 3 nicht gleichmäßig durch 32 teilbar und kein Faktor von 32 ist. Mike kann nicht 3 Gäste zu seiner Party einladen, da in diesem Fall die Teilung der Törtchen ungerecht wäre.

Da 2 ein Faktor der gegebenen Zahl war, können wir die Vielfachen von 2 nicht auslassen und müssen auch 4 überprüfen.

Für die Zahl 4:

32 / 4 = 8. Das bedeutet, dass 4 ein Faktor von 32 ist. Das entsprechende Faktorenpaar lautet: 4 × 8 = 32. Mike kann 4 Kinder einladen, dann bekommt jedes Kind 8 Muffins, oder er kann 8 Kinder einladen, dann bekommt jeder Gast 4 Muffins.

Für die Zahl 5:

32 / 5 = 6 2/5 = 6,4. Das bedeutet, dass 5 nicht gleichmäßig durch 32 teilbar und kein Faktor von 32 ist. 5 Gäste einzuladen ist also auch für Mike keine Option.

Da wir nur ganze Zahlen größer oder gleich 1 und kleiner oder gleich 5 überprüfen mussten, haben wir alle gegebenen Zahlenfaktoren gefunden!

Antwort

Die sechs Faktoren von 32 sind:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Mike kann 1, 2, 4, 8, 16 oder 32 Gäste zu seiner Party einladen, damit die Verteilung der Törtchen gerecht ist.

Die Faktorenpaare von 32 sind:

• 1 × 32 = 32

• 2 × 16 = 32

• 4 × 8 = 32

In jedem Faktorenpaar steht eine der Zahlen für die Anzahl der Gäste und die andere Zahl für die Anzahl der Törtchen, die jeder Gast am Ende der Party erhält.