Rechner für den größten gemeinsamen Teiler

Rechner für den größten gemeinsamen Teiler (Greatest Common Factor GCF)

Der Rechner für den größten gemeinsamen Teiler ist ein Online-Tool, mit dem Sie schnell und genau den größten gemeinsamen Teiler oder auch gennant Faktor (GCF) einer Liste von Zahlen ermitteln können. Es werden auch alle Faktoren der Zahlen in dieser Liste angezeigt.

Der GCF wird manchmal auch als größter gemeinsamer Nenner, größter gemeinsamer Teiler oder höchster gemeinsamer Faktor bezeichnet. Dieser GCF-Rechner kann also verwendet werden, um die Lösung für jeden dieser Begriffe zu finden.

Bedienungsanleitung

Um den GCF-Rechner zu verwenden, geben Sie alle Zahlen durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein und drücken Sie auf "Calculate" (Berechnen). Der Rechner gibt den GCF der aufgelisteten Zahlen zurück und zeigt die Lösung an, um den Wert zu finden. Der Rechner veranschaulicht die Lösung immer durch Faktorisierung.

Einschränkungen bei den Eingabewerten

1. Sie müssen ganze Zahlen eingeben.
2. Nur eine der Zahlen kann Null sein.
3. Sie können nur positive ganze Zahlen eingeben.

Die Definition des größten gemeinsamen Nenners (Greatest Common Factor)

Der größte gemeinsame Faktor (Greatest Common Factor, GCF), auch bekannt als größter gemeinsamer Teiler (Greatest Common Divisor, GCD), ist die höchste positive ganze Zahl, die zwei oder mehr gegebene ganze Zahlen teilt, ohne dass ein Rest übrig bleibt. Es ist die größte Zahl, durch die alle gegebenen ganzen Zahlen geteilt werden können. Zum Beispiel ist der GCF von 12 und 18 gleich 6, da 6 die größte Zahl ist, die sowohl 12 als auch 18 teilt, ohne dass ein Rest übrig bleibt.

Im Fall von Null ist die GCF der absolute Wert der ganzen Zahl, die nicht Null ist, da jede ganze Zahl durch Null teilbar ist. Wenn jedoch alle ganzen Zahlen in der Menge Null sind, ist die GCF undefiniert.

Die Faktoren der Zahl 12 wären zum Beispiel 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die gemeinsamen Faktoren mehrerer Zahlen sind die Faktoren, durch die alle diese Zahlen ohne Rest geteilt werden können. Wenn wir zum Beispiel alle gemeinsamen Faktoren der Zahlen 12 und 16 finden müssten, müssten wir zunächst alle Faktoren jeder Zahl auflisten und dann prüfen, welche Faktoren auf beiden Listen stehen:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

Die gemeinsamen Faktoren der angegebenen Zahlen (12 und 16) sind 1, 2 und 4. Der größte gemeinsame Faktor ist einfach die größte dieser Zahlen. Im Fall von 12 und 16 ist der GCF 4.

Wie man den größten gemeinsamen Faktor findet

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den GCF mehrerer Zahlen zu ermitteln. Der einfachste Weg ist die Lösung durch Faktorisierung.

Lösung durch Faktorisierung

Um den GCF mit dieser Methode zu ermitteln, befolgen Sie die oben beschriebenen Schritte - ermitteln Sie zunächst die Faktoren aller Zahlen in der Liste, suchen Sie dann die gemeinsamen Faktoren und wählen Sie den größten aus.

Die Lösung durch Faktorisierung ist praktischer für kleinere Zahlen oder wenn die Faktoren der Zahlen leicht identifizierbar sind. Bei größeren Zahlen können Methoden wie die Primfaktorzerlegung oder der Euklidsche Algorithmus effizienter sein.

Berechnungsbeispiel

Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor der Zahlen 3, 9 und 48.

Lösung:

• Die Faktoren von 3 sind 1, und 3.
• Die Faktoren von 9 sind 1, 3, und 9.
• Die Faktoren von 48 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 und 48.

Die gemeinsamen Faktoren sind 1 und 3. Dann ist der größte gemeinsame Faktor 3.

Antwort: GCF = 3

Primfaktorzerlegung

Eine andere Strategie zur Ermittlung des größten gemeinsamen Faktors einer Zahlenmenge besteht aus den folgenden Schritten:

1. Finden Sie alle Primfaktoren der Zahlen in der gegebenen Menge.
2. Listen Sie die gemeinsamen Primfaktoren für alle Zahlen der Menge auf.
3. Um den größten gemeinsamen Faktor zu erhalten, multiplizieren Sie die gemeinsamen Primfaktoren.

Berechnungsbeispiel

Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor der Zahlen 16, 24 und 76.

Lösung

• Die Primfaktorzerlegung von 16 ist: 2 × 2 × 2 × 2, oder 2⁴.
• Die Primfaktorzerlegung von 24 ist: 2 × 2 × 2 × 3, oder 2³ × 3¹.
• Die Primfaktorzerlegung von 76 ist: 2 × 2 × 19, oder 2² × 19¹.
• Die gemeinsamen Primfaktoren sind: 2 × 2, oder 2².

Daher ist der größte gemeinsame Teiler: 2 × 2 = 2² = 4

Antwort: GCF = 4

Euklid's Algorithmus

Dieser Algorithmus ist praktisch, um die größten gemeinsamen Faktoren von großen Zahlen zu finden, bei denen jede Art von Faktorisierung sehr mühsam und zeitaufwändig wäre. Dieser von Euklid entwickelte Algorithmus nutzt die Tatsache, dass der GCF der beiden Zahlen m und n, bei denen m > n ist, der gleiche ist wie der GCF der beiden Zahlen n und m - n.

Um diesen Algorithmus für die Ermittlung der GCF der beiden Zahlen m und n zu verwenden, müssen Sie nacheinander die größte der beiden Zahlen durch die Differenz der Zahlen ersetzen:

Ersetzen Sie zunächst m durch m - n. Jetzt haben Sie eine neue Zahlenreihe: m - n und n.

Prüfen Sie, welche der Zahlen größer ist, und ersetzen Sie diese Zahl durch die Differenz zwischen den aktuellen Zahlen.

Wiederholen Sie den Vorgang, bis die beiden Zahlen gleich sind. Diese Zahl ist dann der größte gemeinsame Faktor der ursprünglichen Zahlenmenge.

Berechnungsbeispiel

Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor der folgenden Zahlen: 124, 98.

Lösung

Die größere Zahl in dieser Menge ist 124. Ersetzen wir sie durch die Differenz der Zahlen 124 - 98 = 26, so dass wir die folgende Menge erhalten:

26, 98

Die größere Zahl in dieser Menge ist 98. Ersetzen wir sie durch die Zahlendifferenz (98 - 26) = 72, so dass wir die folgende Menge erhalten:

26, 72

Wir können noch zwei weitere Male 26 von der größeren Zahl abziehen: 72 - 26 - 26 = 20. Jetzt sieht unsere Menge wie folgt aus:

26, 20

In der folgenden Iteration ersetzen wir 26 durch 26 - 20 = 6 und erhalten

6, 20

Als nächstes subtrahieren wir 6 von 20. Wir können diesen Vorgang dreimal wiederholen, da die resultierende Differenz immer noch größer als 6 ist:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Jetzt ist unsere Menge:

6, 2

Die folgenden Iterationen sind:

(6 - 2 = 4), 2 oder 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 oder 2, 2

Jetzt haben wir eine Menge von zwei gleichen Zahlen:

2, 2

Der größte gemeinsame Faktor von 124 und 98 ist also 2.

Antwort: GCF = 2

Warum ist der GCF nur für positive Zahlen definiert?

Der größte gemeinsame Faktor ist nur für positive Zahlen definiert. Der GCF-Rechner akzeptiert auch nur positive ganze Zahlen als Eingaben. Der GCF ist immer positiv, auch bei negativen Zahlen. Ein Beispiel: -4 ist ein Faktor von -8. 4 ist jedoch auch ein Faktor von -8, da -8 = 4 × (-2). Da der größte gemeinsame Faktor immer der größte aller gemeinsamen Faktoren ist, wird er immer positiv sein.

Der größte gemeinsame Faktor von 0

Der größte gemeinsame Faktor einer Zahl und der Null ist immer der absolute Wert der Zahl, die nicht Null ist. Das liegt daran, dass jede Zahl ein Teiler von Null ist. Zum Beispiel ist der GCF von 8 und 0 gleich 8, und der GCF von -8 und 0 ist 8 (der absolute Wert von -8).