Calculadora de Máximo Divisor Comum

A Calculadora de Máximo Divisor Comum

A calculadora de máximo divisor comum é uma ferramenta online que permite encontrar com rapidez e precisão o máximo divisor comum (MDC) de uma lista de números e todos os fatores dos números incluídos nessa lista.

O MDC é às vezes referido como o maior denominador comum, o máximo divisor comum, ou o maior fator comum. Esta calculadora de MDC pode, portanto, ser usada para encontrar a solução para qualquer um desses termos.

Instruções de Uso

Para usar o localizador de MDC, digite todos os números separados por vírgulas ou espaços e pressione "Calcular". A calculadora retornará o MDC dos números listados e demonstrará a solução para encontrar seu valor. A calculadora sempre ilustrará a solução pela fatoração.

Para apagar todas as entradas, pressione "Limpar".

Limitações sobre os valores de entrada

1. Você deve inserir números inteiros.
2. Apenas um dos números pode ser zero.
3. Você só pode inserir números inteiros positivos.

A Definição do Máximo Divisor Comum

O Maior Fator Comum (GCF), também conhecido como Maior Divisor Comum (GCD), é o maior número inteiro positivo que divide dois ou mais números inteiros dados sem deixar resto. É o maior número pelo qual todos os números inteiros dados podem ser divididos. Por exemplo, o GCF de 12 e 18 é 6, pois 6 é o maior número que divide 12 e 18 sem deixar resto.

Nos casos que envolvem zero, a GCF é o valor absoluto do número inteiro diferente de zero, já que todo número inteiro divide zero. Entretanto, se todos os números inteiros do conjunto forem zero, o GCF é indefinido.

Por exemplo, os fatores do número 12 seriam 1, 2, 3, 4, 6, e 12. Os fatores comuns de vários números são aqueles fatores que podem dividir todos esses números sem sobras. Por exemplo, se tivéssemos que encontrar todos os fatores comuns dos números 12 e 16, precisaríamos primeiro listar todos os fatores de cada número e depois verificar quais fatores estão em ambas as listas:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

Os fatores comuns dos números dados (12 e 16) são 1, 2, e 4. O maior fator comum é simplesmente o maior desses números. No caso de 12 e 16, o MDC é 4.

Como Encontrar o Máximo Divisor Comum

Há várias maneiras de encontrar o MDC de vários números. A mais simples é a solução por fatorização.

Solução por fatorização

Para encontrar o MDC usando este método, siga os passos descritos acima - primeiro, identifique os fatores de todos os números da lista, depois encontre os fatores comuns e escolha o maior deles.

A solução pelo método de fatoração é mais prática para números menores ou quando os fatores dos números são facilmente identificáveis. Para números maiores, métodos como a fatoração de primos ou o algoritmo de Euclides podem ser mais eficientes.

Exemplo de cálculo

Encontre o máximo divisor comum dos seguintes números: 3, 9, e 48.

Solução:

• Os fatores de 3 são 1, e 3.
• Os fatores de 9 são 1, 3 e 9.
• Os fatores de 48 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48.

Os fatores comuns são 1 e 3. Então o máximo divisor comum é 3.

Resposta: MDC = 3

Fatoração de inteiros

Outra estratégia para encontrar o maior fator comum de um conjunto de números consiste nos seguintes passos:

1. Encontre todos os fatores inteiros dos números no conjunto dado.
2. Liste os fatores inteiros que são comuns a todos os números do conjunto.
3. Para obter o maior fator comum, multiplique os fatores inteiros comuns.

Exemplo de cálculo

Encontre o máximo divisor comum dos seguintes números: 16, 24, e 76.

Solução

• A fatorização de inteiros de 16 é: 2 × 2 × 2 × 2 × 2, ou 2⁴.
• A fatorização de inteiros de 24 é: 2 × 2 × 2 × 2 × 3, ou 2³ × 3¹.
• A fatorização de inteiros de 76 é: 2 × 2 × 2 × 19, ou 2² × 19¹.
• Os fatores inteiros comuns são: 2 × 2, ou 2².

Portanto, o máximo divisor comum é: 2 × 2 = 2² = 4

Resposta: MDC = 4

Algoritmo de Euclides

Este algoritmo é muito útil para encontrar o máximo divisor comum de grandes números, onde a utilização de qualquer tipo de fatoração seria muito incômoda e demorada. Este algoritmo, desenvolvido por Euclides, utiliza o fato de que o MDC dos dois números m e n, onde m > n, é o mesmo que o MDC dos dois números n e m-n.

Para usar este algoritmo para encontrar o MDC dos dois números m e n, é necessário substituir consecutivamente o maior dos dois números pela diferença dos números:

Primeiro, substitua m por m-n. Agora você tem um novo conjunto de números: m - n e n.

Verifique, qual dos números é maior, e substitua aquele número pela diferença dos números atuais.

Repita até que os dois números se tornem iguais. Esse número será o máximo divisor comum do conjunto original de números.

Exemplo de cálculo

Encontre o máximo divisor comum dos seguintes números: 124, 98.

Solução

O maior número neste conjunto é 124. Vamos substituí-lo pela diferença em números, 124 - 98 = 26, de modo que obtenhamos o seguinte conjunto:

26, 98

O maior número neste conjunto é 98. Vamos substituí-lo pela diferença em números, (98 - 26) = 72, de modo que obtenhamos o seguinte conjunto:

26, 72

Podemos subtrair 26 do maior número mais duas vezes: 72 - 26 - 26 = 20. Agora nosso conjunto se parece com isto:

26, 20

Na seguinte iteração, substituímos 26 por 26 - 20 = 6, para obter

6, 20

A seguir, subtraímos 6 de 20. Podemos repetir esta operação três vezes, pois a diferença resultante ainda será maior que 6: 20 - 6 - 6 - 6 = 2. Agora nosso conjunto é:

6, 2

As seguintes iterações são:

(6 - 2 = 4), 2 ou 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 ou 2, 2

Agora temos um conjunto de dois números iguais:

2, 2

Portanto, o máximo divisor comum de 124 e 98 é 2.

Resposta: MDC = 2

Por que o MDC só é definido para números positivos

O máximo divisor comum é definido apenas para números positivos. A calculadora de MDC também só aceita números inteiros positivos como entradas. Isto porque o MDC será sempre positivo, mesmo para números negativos. Por exemplo, -4 é um fator de -8. Entretanto, 4 também é um fator de -8, já que -8 = 4 × (-2). Como o máximo divisor comum é sempre o maior de todos os fatores comuns, ele será sempre positivo.

O máximo divisor comum de 0

O maior fator comum de um número e zero é sempre o valor absoluto do número diferente de zero. Isso ocorre porque qualquer número é um divisor de zero. Por exemplo, o GCF de 8 e 0 é 8, e o GCF de -8 e 0 é 8 (o valor absoluto de -8).