Primfaktorzerlegung-Rechner

Dieser Online-Faktorisierungsrechner findet alle Primfaktoren der eingegebenen Zahl. Der Rechner zeigt die Primfaktoren sowohl in der allgemeinen Form, als auch in der Exponentialform und im CSV-Format an. Außerdem kann dieser Faktorisierungsrechner einen Primfaktorenbaum erstellen und alle (nicht nur die Primfaktoren) der angegebenen Zahl finden.

Gebrauchsanweisung

Um mit diesem Rechner die Primfaktoren einer Zahl zu ermitteln, geben Sie die angegebene Zahl ein und drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner gibt die Primfaktoren der Zahl in der allgemeinen Form, in der Exponentialform und als Liste im CSV-Format zurück.

Sie haben auch die Möglichkeit, einen Faktorisierungsbaum zu erstellen und alle Faktoren der gegebenen Zahl zu finden. Beide Optionen können durch Ankreuzen eines entsprechenden Kästchens ausgewählt werden.

Beschränkungen der Eingabewerte

• Bei den Eingabewerten sollte es sich um ganze Zahlen handeln; Dezimalzahlen und Brüche werden nicht akzeptiert.
• Als Eingaben können nur positive ganze Zahlen größer als 1 verwendet werden.
• Die Länge der Zahl darf 13 Ziffern nicht überschreiten (ohne Kommas zur Trennung der Tausender), d.h. der Wert der eingegebenen Zahl sollte kleiner als 10.000.000.000.000 oder 10000000000000 sein. Der maximale Eingabewert beträgt also 9.999.999.999.999 oder 9999999999999.

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nicht weiter in andere ganze Zahlen geteilt werden kann. Mit anderen Worten, eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nicht durch Multiplikation anderer ganzer Zahlen gebildet werden kann. Die kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... (Beachten Sie, dass nur eine Primzahl gerade ist - 2, alle anderen Primzahlen sind ungerade).

Die n-te Primzahl in der obigen Liste kann als Prime[n] bezeichnet werden. In diesem Fall ist Prime[1] = 2, Prime[2] = 3, Prime[3] = 5 und so weiter. Dieser Online-Rechner zeigt den Index n jeder identifizierten Primzahl bis zu n = 5000.

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die durch Multiplikation anderer ganzer Zahlen gebildet werden kann. Zum Beispiel ist 6 eine zusammengesetzte Zahl, da 6 = 3 × 2. 12 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Zahlenfaktorisierung

Die Zahlen, die man multipliziert, um eine andere ganze Zahl zu erhalten, nennt man Faktoren. Wie oben gezeigt, sind 3 und 2 die Faktoren von 6. Da 6 auch durch Multiplikation von 1 und 6 gefunden werden kann: 6 = 1 × 6, sind 1 und 6 auch die Faktoren von 6. Schließlich sind alle Faktoren von 6 1, 2, 3 und 6.

Die einzigen Faktoren einer Primzahl sind 1 und die Zahl selbst. Zum Beispiel sind die Faktoren von 17 1 und 17.

Bei der Primfaktorzerlegung geht es darum, alle Primzahlen zu finden, die multipliziert werden können, um die gegebene Zahl zu erhalten. Beachten Sie, dass die Primfaktorzerlegung einer Zahl etwas anderes ist als die Suche nach allen Faktoren dieser Zahl.

Zum Beispiel sind alle Faktoren von 12 1, 2, 3, 4, 6, 12. Diese Faktoren werden als Liste geschrieben.

Die Primfaktorzerlegung von 12 sieht wie folgt aus: 12 = 2 × 2 × 3. Bei der Primfaktorzerlegung erhalten wir nur Ergebnisse in Form von Primzahlen.

Algorithmus zur Primfaktorzerlegung

Versuchsabteilung

Schauen wir uns die intuitivste Methode der Primfaktorzerlegung, die manchmal auch als Probedivision bezeichnet wird, anhand eines Beispiels an und ermitteln die Primfaktoren von 36. Da wir alle Primzahlen kennen, können wir prüfen, ob die gegebene Zahl durch eine von ihnen teilbar ist. Am einfachsten ist es, mit der kleinsten Primzahl zu beginnen, die 2 ist:

36 ÷ 2 = 18

Das Ergebnis dieser Division ist eine ganze Zahl. Daher ist 2 einer der Primfaktoren von 36. Aber 18 ist noch keine Primzahl, also fahren wir fort und prüfen, ob 18 durch 2 teilbar ist:

18 ÷ 2 = 9

9 ist auch eine ganze Zahl. Daher ist 18 durch 2 teilbar.

Versuchen wir es noch einmal: 9 ÷ 2 = 4,5. Dies ist keine ganze Zahl. Daher ist 9 nicht durch 2 teilbar.

Versuchen wir es mit der nächsten Primzahl, 3. 9 ÷ 3 = 3. Dies ist eine ganze Zahl, es hat also funktioniert! Außerdem ist 3 bereits eine Primzahl, was bedeutet, dass wir den letzten Schritt des Prozesses erreicht haben! Jetzt müssen wir nur noch die endgültige Antwort aufschreiben:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Dies ist die allgemeine Art, die Primfaktorzerlegung einer Zahl aufzuschreiben. Sie kann auch wie folgt mit Exponenten geschrieben werden:

36 = 2² × 3²

Primfaktor-Baum

Der Prozess der Primfaktorzerlegung kann auch als "Baum" dargestellt werden. Der Baum der Primfaktoren für 36 sieht wie folgt aus:

Versuchsteilung (beliebige Faktoren)

Manchmal wird der Prozess der Primfaktorzerlegung einfacher, wenn wir die Zahl zunächst als Multiplikation zweier anderer (nicht primärer) Zahlen ausdrücken und dann deren Primfaktoren ermitteln. Ein Beispiel: Wir wollen die Primfaktoren von 48 finden. Es ist einfacher, mit 48 = 6 × 8 zu beginnen, da du das wahrscheinlich auswendig weißt. Dann müssen wir die Primfaktoren von 6 finden: 6 = 2 × 3, und 8: 8 = 2 × 2 × 2. Schließlich 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Fundamentaler Satz der Arithmetik

Jede positive ganze Zahl, die größer als 1 ist, kann aus einer einzigen Menge von Primfaktoren gebildet werden. Dieses Theorem wird manchmal auch als Primfaktorensatz bezeichnet.

Anwendungen im wirklichen Leben

Primzahlen werden in der Kryptografie und Cybersicherheit zur Ver- und Entschlüsselung von Nachrichten verwendet. Wir wissen bereits, dass jede Zahl als Produkt einer Menge von Primzahlen dargestellt werden kann und dass diese Menge eindeutig ist. Diese Eigenschaft der Primzahlen macht sie für die Verschlüsselung so geeignet.

Noch praktischer ist, dass das Finden von Primfaktoren sehr großer Zahlen selbst für moderne Computer eine sehr zeitaufwändige Aufgabe ist. Das ist auch der Grund, warum der Rechner auf dieser Seite nicht mit unendlich großen Zahlen arbeiten kann.

Das Grundprinzip der Verwendung von Primzahlen für die Verschlüsselung besteht darin, dass es relativ einfach ist, zwei große Primzahlen zu nehmen und sie zu multiplizieren, um eine viel größere zusammengesetzte Zahl zu erhalten. Allerdings ist es unglaublich schwierig, diese endgültige Zahl wieder in die ursprünglichen Primzahlen zu zerlegen.

Stellen Sie sich vor, Sie nehmen zwei 10-stellige Primzahlen und multiplizieren sie, um eine Zahl mit noch mehr Ziffern zu erhalten. Stellen Sie sich nun den Prozess der Primfaktorzerlegung dieser Zahl durch Probeteilung vor...

Dies ist ein so langwieriger Prozess, dass derzeit kein Computer in der Lage ist, zwei anfängliche Primzahlen für ein gegebenes Problem in einer angemessenen Zeit zu finden. Mit der Entwicklung von Quantencomputern könnte sich diese Situation jedoch in Zukunft ändern.