Quartil-Rechner

Der Quartilsrechner ist sehr hilfreich, wenn Sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung für die Box-and-Whisker-Diagramme finden möchten. Dieser Statistikrechner berechnet das erste Quartil (Q1), das zweite Quartil (Q2) oder den Median, das dritte Quartil (Q3), den Minimalwert und den Maximalwert des gegebenen Datensatzes. Darüber hinaus berechnet er auch den Interquartilsbereich und die Spanne.

Sie müssen nur die Daten eintippen oder kopieren und einfügen und auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken. Achten Sie darauf, dass Sie jede Zahl mit einem Komma oder einem Leerzeichen trennen.

Quartile

Die Quartile sind ein Maß für die Position. Sie helfen bei der Beschreibung der Position eines Wertes im Verhältnis zu anderen Werten in einem Datensatz.

Quartile werden verwendet, um eine aufsteigende Reihe von Daten (die Daten sind in aufsteigender Reihenfolge angeordnet) in vier gleiche Abschnitte zu unterteilen. Jeder dieser Abschnitte enthält eine gleiche Anzahl von Elementen. Wir können drei Quartile für einen Datensatz berechnen.

• Erstes Quartil (Q1 oder das untere Quartil)
• Zweites Quartil (Q2 oder der Median)
• Drittes Quartil (Q3 oder das obere Quartil)

Das erste Quartil (Q1) ist der Datenwert, der die unteren 25 % und die oberen 75 % der in aufsteigender Reihenfolge angeordneten Daten trennt. Im ersten Quartil liegen also 25 % der Elemente unter dem Wert und 75 % der Elemente über dem Wert. Dies entspricht dem 25. Perzentil des Datensatzes.

Das zweite Quartil (Q2) ist der Datenwert, der die unteren 50 % von den oberen 50 % der Daten trennt und in aufsteigender Reihenfolge angeordnet ist. Im zweiten Quartil befinden sich also 50 % der Elemente, die unter diesem Wert liegen, und 50 % der Elemente, die über diesem Wert liegen. Das zweite Quartil entspricht genau dem Median und dem 50. Perzentil des Datensatzes.

Das dritte Quartil (Q3) ist der Datenwert, der die unteren 75 % und die oberen 25 % der in aufsteigender Reihenfolge angeordneten Daten trennt. Im dritten Quartil liegen also 75 % der Elemente unter und 25 % der Elemente über diesem Wert. Dies entspricht dem 75. Perzentil des Datensatzes.

Berechnung der Quartile

Sie können die folgenden Schritte befolgen, um die Quartile zu ermitteln:

• Ordnen Sie die Daten in aufsteigender Reihenfolge an.
• Ermitteln Sie den Median der Datenwerte. Dies ist das zweite Quartil.
• Ermitteln Sie den Median der Datenwerte, die unterhalb des zweiten Quartils liegen. Dies ist das erste Quartil.
• Ermitteln Sie den Median der Datenwerte, die oberhalb des zweiten Quartils liegen. Dies ist das dritte Quartil.

Beispiel 1

Der folgende Datensatz stellt das Anfangsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern an einer Hochschule dar. Ermitteln Sie den Median (Q2), das untere Quartil (Q1) und das obere Quartil (Q3) für die Anfangsgehälter. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

$55.000, $60.000, $52.000, $45.000, $74.000, $75.000, $48.000, $58.000, $72.000, $66.000, $45.000, $50.000, $54.000, $65.000, $71.000

Lösung

Zunächst ordnen wir die Daten in aufsteigender Reihenfolge.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Anschließend wird die Lage des zweiten Quartils oder des Medians ermittelt.

$$Zweites\ Quartil(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{te}punkt=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{te}punkt=8^{te}punkt=58.000$$

Ermitteln Sie anschließend den Median der Datenwerte unterhalb von Q2, um Q1 zu bestimmen.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000

Erstes Quartil (Q1) = 50.000 $

Ermitteln Sie anschließend den Median der Datenwerte über Q2, um Q3 zu bestimmen.

$60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Drittes Quartil (Q3) = 71.000 $

Sie können die obigen Quartile wie folgt interpretieren.

25 % der frischgebackenen Buchhalter verdienen weniger als 50.000 $, und 25 % verdienen mehr als 71.000 $. 50 % der frisch gebackenen Buchhalter verdienen mehr als 58.000 $, während die anderen 50 % weniger als das verdienen.

Aus dem obigen Beispiel ist ersichtlich, dass bei einer ungeraden Anzahl von Daten die Quartile den ursprünglichen Datenwerten entsprechen. Bei einer geraden Anzahl von Daten entsprechen die Quartile jedoch nicht den Ausgangswerten. Ändern wir das obige Beispiel, um dies zu lernen.

Beispiel 2

Nehmen wir an, Sie haben es versäumt, eine Gehaltsangabe zu den Daten in Beispiel 1 hinzuzufügen. Das fehlende Gehalt beträgt 95.000 $. Ermitteln Sie den revidierten Median (Q2), das untere Quartil (Q1) und das obere Quartil (Q3) für die Anfangsgehälter.

Lösung

Zunächst ordnen wir die Daten in aufsteigender Reihenfolge.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Dann werden wir die Lage der Quartile ermitteln.

$$Zweites\ Quartil(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{te}punkt=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{te}punkt=8,5^{te}punkt$$

$$Zweites\ Quartil(Q2)=\frac{8^{te}punkt+9^{te}punkt}{2}=\frac{58.000+60.000}{2}=59.000$$

Unterteilen Sie nun den Datensatz am Median in zwei Gruppen. Ermitteln Sie den Median der Datenwerte unterhalb des Q2, um das Q1 zu finden.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000

Erstes Quartil (Q1)=(50.000 $ + 52.000 $)/2 = 51.000 $

Ermitteln Sie anschließend den Median der Datenwerte über dem Q2, um das Q3 zu bestimmen.

$60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Drittes Quartil (Q3) = ($71.000 + $72.000)/2 = $71.500

Interquartilsbereich

Die Differenz zwischen dem oberen Quartil (Q3) und dem unteren Quartil (Q1) wird als Interquartilsbereich bezeichnet.

• Interquartilsbereich (IQR) = oberes Quartil - unteres Quartil
• Interquartilsbereich (IQR) = drittes Quartil - erstes Quartil
• Interquartilsbereich (IQR) = Q3- Q1

Beim Interquartilsbereich werden die untersten 25 % der Elemente und die obersten 25 % der Elemente der Datenreihe eliminiert. Mit anderen Worten, der Interquartilsbereich konzentriert sich auf die Streuung der mittleren 50 % des Datenfeldes. Da der Interquartilsbereich die Elemente unterhalb des unteren Quartils und die Elemente oberhalb des oberen Quartils eliminiert, ist der Interquartilsbereich frei von Extremwerten oder Ausreißern im Datensatz. Damit ist der größte Nachteil der Bereichsberechnung beseitigt.

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Interquartilsbereich für Beispiel 1.

Lösung

Wir haben bereits die Quartile für den Datenbereich ermittelt:

• Erstes Quartil (Q1) = 50.000 $
• Zweites Quartil (Q2) = $58.000
• Drittes Quartil (Q3) = 71.000 $

Wenden wir die obigen Daten auf die Interquartilsformel an.

Interquartilsbereich (IQR) = Drittes Quartil (Q3)- Erstes Quartil (Q1) = 71.000 $ - 50.000 $ = 21.000 $

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Interquartilsbereich für Beispiel 2.

Lösung

Wir haben bereits die Quartile für den Datenbereich ermittelt:

• Erstes Quartil (Q1) = 51.000 $
• Zweites Quartil (Q2) = $59.000
• Drittes Quartil (Q3) = $71.500

Wenden wir die obigen Daten auf die Formel für den Interquartilsabstand an.

Interquartilsbereich (IQR) = Drittes Quartil (Q3) - Erstes Quartil (Q1) = $71.500 - $51.000 = $20.500

Mindest- und Höchstwerte

Der Mindestwert eines Datensatzes ist der niedrigste Wert des Datensatzes. Wenn Sie einen Datensatz in aufsteigender Reihenfolge anordnen, ist dies der erste Wert Ihres Datensatzes.

Der Maximalwert eines Datensatzes ist der höchste Wert des Datensatzes. Wenn Sie einen Datensatz in aufsteigender Reihenfolge anordnen, ist dies der letzte Wert Ihres Datensatzes.

Der Minimalwert und der Maximalwert helfen dabei, die Gesamtstreuung des Datensatzes zu verstehen. Der Bereich, der das grundlegende Maß für die Streuung ist, basiert auf dem Minimalwert und dem Maximalwert des Datensatzes.

Beispiel 5

Ermitteln Sie die Minimal- und Maximalwerte des Datensatzes des Anfangsgehalts von frischgebackenen Buchhaltern aus Beispiel 1.

Lösung

Wir haben den Datensatz bereits wie folgt in aufsteigender Reihenfolge angeordnet.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Das Mindestgehalt ist die erste Gehaltsangabe in der obigen Matrix. Daher,

Das Mindesteinstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 45.000 $.

Das Höchstgehalt ist die letzte Gehaltsangabe in der obigen Matrix. Daher,

Das maximale Einstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 75.000 $.

Beispiel 6

Ermitteln Sie die Minimal- und Maximalwerte des Datensatzes des Anfangsgehalts von frischgebackenen Buchhaltern aus Beispiel 2.

Lösung

Wir haben den Datensatz bereits wie folgt in aufsteigender Reihenfolge angeordnet.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Das Mindestgehalt ist die erste Gehaltsangabe in der obigen Matrix. Daher,

Das Mindesteinstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 45.000 $.

Das Höchstgehalt ist die letzte Gehaltsangabe in der obigen Matrix. Daher,

Das maximale Einstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 95.000 $.

Bereich einer Menge

Die Spannweite in der Statistik ist das grundlegendste Maß für die Streuung eines Datensatzes. Sie wird als Differenz zwischen dem größten (maximalen) Wert und dem kleinsten (minimalen) Wert des Datensatzes berechnet.

Der Bereich einer Menge = Maximalwert - Minimalwert

Der Bereich einer Menge = Größter Wert - Kleinster Wert

Der Bereich ist der Gesamtabstand oder die Gesamtstreuung zwischen den Extremwerten des Datensatzes. Er ist ein grobes Maß für die Streuung.

Der Bereich hängt nur von zwei Extremwerten des Datensatzes ab. Wenn die Extremwerte Ausreißer enthalten, wird der Bereich leicht verzerrt und verzerrt.

Da die Spanne nicht auf allen Daten des Datensatzes basiert, wird sie nicht als gutes Maß für die Streuung angesehen.

Beispiel 7

Ermitteln Sie die Spanne des Datensatzes für das Anfangsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern aus Beispiel 1.

Lösung

Zuvor haben wir den Mindestwert und den Höchstwert des Datensatzes ermittelt.

Das Mindesteinstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 45.000 $.

Das maximale Einstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 75.000 $.

Nun werden wir die oben genannten Werte auf die Bereichsformel anwenden.

Die Spanne eines Satzes = Höchstwert - Mindestwert = 75.000 $ - 45.000 $ = 30.000 $

Beispiel 8

Ermitteln Sie die Spanne des Datensatzes für das Anfangsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern aus Beispiel 2.

Lösung

Zuvor haben wir den Mindestwert und den Höchstwert des Datensatzes ermittelt.

Das Mindesteinstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 45.000 $

Das maximale Einstiegsgehalt von frischgebackenen Buchhaltern beträgt 95.000 $

Nun werden wir die oben genannten Werte auf die Bereichsformel anwenden.

Die Spanne eines Satzes = Höchstwert - Mindestwert = 95.000 $ - 45.000 $ = 50.000 $

Quartilsberechnungen Anwendungen in der realen Welt

Die Quartilsberechnungen sind nützlich, wenn man die Extremwerte des Datensatzes eliminieren und seine Verteilung untersuchen möchte. In der nachstehenden Liste sind verschiedene Bereiche aufgeführt, in denen Quartile zur Entscheidungsfindung verwendet werden.

Humanressourcen - Die Quartile der Gehälter werden vor der Festlegung der Gehaltsspanne der Beschäftigten eines Unternehmens bestimmt. Dadurch können extrem niedrige Gehälter, wie z. B. die von Auszubildenden, und extrem hohe Gehälter, die sich aus der Erfahrung und den herausragenden Talenten der Mitarbeiter ergeben, vermieden werden.

Finanzen - Bei der Planung der monatlichen Ausgaben werden Quartile berechnet, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie sich die Ausgaben in der Vergangenheit verteilt haben. So lassen sich Über- und Unterschreitungen des Budgets vermeiden.

Dies trägt dazu bei, Daten über die Bandbreite der Produktionskapazitäten zu erhalten, die nicht durch Stromausfälle, Streiks, Tage mit nicht vorrätigen Materialien usw. verzerrt werden.

Marketing - Wenn Vermarkter die Preisspannen ihrer Konkurrenten analysieren, ermitteln sie die Quartile für die Preise der Wettbewerber. Sie können dann die Preise von Produkten mit geringer Qualität und hohem Markenwert bei der Analyse ausklammern.