Calculadora de secuencias numéricas

Esta calculadora de secuencias numéricas incluye aritmética, geometría y Fibonacci o calculadora de secuencia recursiva. En cada caso, la calculadora de sucesiones encuentra el n-ésimo término de la sucesión.

Instrucciones de uso

Calculadora de secuencias aritméticas

Use la calculadora de secuencias aritméticas para encontrar el enésimo término -n de la secuencia aritmética. Ingrese el primer número de la secuencia y la diferencia común (generalmente indicada como f). Luego ingrese el valor de n para obtener el enésimo número de la secuencia. Por ejemplo, si necesita el vigésimo término, ingrese n = 20. La calculadora devolverá el 20° valor y la suma de todos los términos hasta (e incluyendo) el 20° término.

Calculadora de secuencias geométricas

Use la calculadora de sucesiones geométricas para encontrar el enésimo término -n de la sucesión geométrica. Ingrese el primer número de la secuencia, la razón común (generalmente indicada como r) y el valor de n. Luego presione "Calcular". La calculadora devolverá el valor del término nᵗʰ de la secuencia y la suma de todos los números hasta (e incluyendo) el enésimo término n.

Calculadora de secuencia de Fibonacci

Use la calculadora de secuencias de Fibonacci para encontrar el enésimo término -n de la secuencia de Fibonacci. Ingrese el valor de n y presione "Calcular". La calculadora devolverá el enésimo término -n de la secuencia y la suma de todos los números hasta (e incluyendo) el enésimo valor n.

Para vaciar los campos de entrada en cada calculadora, presione "Borrar".

Definiciones

Secuencias matemáticas

En matemáticas, una secuencia numérica se define como una lista de números en orden. "En orden" significa que cada número tiene una posición fija. Una secuencia numérica se denota como una lista de números separados por comas y encerrados entre corchetes. Por ejemplo, {1, 3, 5, 7, 9} o {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Cada término de secuencia se denota como aₙ, donde n – es el número de ese término. Por ejemplo, en la secuencia {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1, a₂ = 3, y así sucesivamente. Una secuencia numérica generalmente tiene una regla que permite encontrar cualquier término de esa secuencia. Las tres sucesiones más utilizadas son la aritmética, la geométrica y la de Fibonacci.

Secuencia aritmética

La diferencia entre dos términos vecinos cualesquiera es una constante en una sucesión aritmética. Si denotamos esa constante como f, obtendremos aₙ₊₁ – aₙ = f, para cualquier n. En general, cualquier secuencia aritmética se puede escribir de la siguiente manera:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

Los dos elementos importantes de cualquier sucesión aritmética son el primer término a₁ y la constante f llamada diferencia común. Conociendo estos dos valores, podemos escribir la regla de la sucesión aritmética:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Por ejemplo, busquemos el 9° término de una sucesión aritmética con a₁ = 2 y f = 1.2. Necesitamos encontrar el 9° término. Por lo tanto, n = 9. Usando la regla de la secuencia aritmética, obtenemos inmediatamente lo siguiente:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Secuencia geométrica

En una secuencia geométrica, cada término se puede encontrar multiplicando el término anterior por una constante distinta de cero. Esa constante generalmente se denota como r, llamada razón común. En una secuencia geométrica, aₙ₊₁ = aₙ × r. En general, cualquier secuencia geométrica se puede escribir de la siguiente manera:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Conociendo el primer término y la razón común, la regla de la sucesión geométrica se puede escribir de la siguiente manera:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Por ejemplo, busquemos el quinto término de la secuencia geométrica con a1 = 6 y r = 2. Necesitamos encontrar el quinto término. Por lo tanto, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Secuencia Fibonacci

La secuencia de Fibonacci es la siguiente secuencia:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

En esta secuencia, cada término se define como la suma de dos términos anteriores:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Los primeros dos términos de una sucesión de Fibonacci se definen comúnmente como 0 y 1.

A diferencia de otras secuencias, la secuencia de Fibonacci comienza con a₀, ¡no con a₁! Esto significa que a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, etcétera.

Proporción áurea

La secuencia de Fibonacci tiene muchas propiedades interesantes, la más notable es la propiedad de la proporción áurea. Esta propiedad significa que la proporción de dos números consecutivos cualesquiera (comenzando con a₃ y a₄) de la secuencia de Fibonacci está cerca de la proporción áurea, estimada aproximadamente en 1.618034 y denotada como ϕ. Cuanto mayor sean los términos de la sucesión, más cercana será su proporción a la proporción áurea. Por ejemplo,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

etcétera

La proporción áurea también se puede usar para encontrar los términos de la secuencia de Fibonacci usando la siguiente fórmula:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Cuanto más preciso sea el valor de la proporción áurea que utilice, más cerca estará el valor calculado de an del entero correspondiente de la secuencia de Fibonacci.

Ejemplo de la vida real

Veamos un ejemplo del uso de una secuencia aritmética en la vida real. Imagine que quiere organizar una cena navideña en un restaurante. Por lo general, en este restaurante, la gente se sienta en pequeñas mesas cuadradas para que quepan cuatro personas en cada mesa.

Si coloca dos mesas juntas, puede sentar a 6 personas. En 3 mesas cabrían 8 personas, y así sucesivamente. El restaurante solo tiene 15 mesas y viene con un grupo grande de 40 personas. ¿Habrá suficientes mesas para acomodar a todos en una gran mesa conjunta?

Solución

La situación anterior describe una secuencia aritmética con la diferencia común f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … El restaurante solo tiene 15 mesas. Por lo tanto, el último término de la sucesión será a₁₅. Para resolver el problema, necesitamos calcular el valor de a₁₅ y compararlo con el número de personas – 40. Usando la regla de la secuencia aritmética, obtendremos lo siguiente:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Respuesta

Colocar todas las mesas juntas solo le dará 32 asientos, lo que es insuficiente para poner a todos los invitados en una mesa.