Calcolatrice per Sequenze Aritmetiche e Geometriche

Questa calcolatrice di sequenze numeriche include calcolatori per sequenze aritmetiche, geometriche e Fibonacci o ricorsive. In ogni caso, la calcolatrice trova il n-esimo termine della sequenza.

Istruzioni per l'uso

Calcolatrice per sequenze aritmetiche

Utilizza la calcolatrice per sequenze aritmetiche per trovare il n-esimo termine della sequenza aritmetica. Inserisci il primo numero della sequenza e la differenza comune (di solito indicata come f). Quindi inserisci il valore di n per ottenere il n-esimo numero della sequenza. Ad esempio, se hai bisogno del ventesimo termine, inserisci n = 20. La calcolatrice restituirà il 20° valore e la somma di tutti i termini fino al (e incluso) 20° termine.

Calcolatrice per sequenze geometriche

Usa la calcolatrice per sequenze geometriche per trovare il n-esimo termine della sequenza geometrica. Inserisci il primo numero della sequenza, il rapporto comune (solitamente indicato come r) e il valore di n. Quindi premi "Calcola". La calcolatrice restituirà il valore del n-esimo termine della sequenza e la somma di tutti i numeri fino al (e incluso) n-esimo termine.

Calcolatrice per la Sequenza di Fibonacci

Utilizza la calcolatrice per la sequenza di Fibonacci per trovare il n-esimo termine della sequenza di Fibonacci. Inserisci il valore di n e premi "Calcola". La calcolatrice restituirà il n-esimo termine della sequenza e la somma di tutti i numeri fino al (e incluso) valore n-esimo.

Definizioni

Sequenze matematiche

In matematica, una sequenza di numeri è definita come un elenco di numeri in ordine. "In ordine" significa che ogni numero ha una posizione fissa. Una sequenza di numeri è indicata come un elenco di numeri separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio, {1, 3, 5, 7, 9} o {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Ogni termine della sequenza è indicato come aₙ, dove n è il numero di quel termine. Ad esempio, nella sequenza {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1, a₂ = 3, e così via. Una sequenza di numeri di solito ha una regola che permette di trovare qualsiasi termine di quella sequenza. Le tre sequenze più comunemente usate sono aritmetiche, geometriche e di Fibonacci.

Sequenza aritmetica

La differenza tra due termini consecutivi è una costante in una sequenza aritmetica. Se indichiamo quella costante come f, otteniamo aₙ₊₁ – aₙ = f, per ogni n. In generale, qualsiasi sequenza aritmetica può essere scritta come segue:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

I due elementi importanti di qualsiasi sequenza aritmetica sono il primo termine a₁ e la costante f chiamata differenza comune. Conoscendo questi due valori, possiamo scrivere la regola della sequenza aritmetica:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Ad esempio, troviamo il 9° termine di una sequenza aritmetica con a₁ = 2 e f = 1,2. Dobbiamo trovare il 9° termine. Pertanto, n = 9. Utilizzando la regola della sequenza aritmetica, otteniamo immediatamente il seguente risultato:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Sequenza geometrica

In una sequenza geometrica, ogni termine può essere trovato moltiplicando il termine precedente per una costante non zero. Quella costante è di solito indicata come r, chiamata rapporto comune. In una sequenza geometrica, aₙ₊₁ = aₙ × r. In generale, qualsiasi sequenza geometrica può essere scritta come segue:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Conoscendo il primo termine e il rapporto comune, la regola della sequenza geometrica può essere scritta come segue:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Ad esempio, troviamo il 5° termine della sequenza geometrica con a1 = 6 e r = 2. Dobbiamo trovare il 5° termine. Pertanto, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Sequenza di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci è la seguente sequenza:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

In questa sequenza, ogni termine è definito come la somma dei due termini precedenti:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

I primi due termini di una sequenza di Fibonacci sono comunemente definiti come 0 e 1.

A differenza di altre sequenze, la sequenza di Fibonacci inizia con a₀, non a₁! Questo significa che a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, e così via.

Rapporto aureo

La sequenza di Fibonacci ha molte proprietà interessanti, la più notevole delle quali è la proprietà del rapporto aureo. Questa proprietà significa che il rapporto di due numeri consecutivi (a partire da a₃ e a₄) della sequenza di Fibonacci si avvicina al rapporto aureo, stimato approssimativamente come 1,618034 e denotato come ϕ. Più i termini della sequenza sono grandi, più il loro rapporto si avvicina al rapporto aureo. Ad esempio,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

e così via

Il rapporto aureo può anche essere usato per trovare i termini della sequenza di Fibonacci utilizzando la seguente formula:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Più accurato è il valore del rapporto aureo che utilizzi, più il valore calcolato di an sarà vicino all'intero corrispondente della sequenza di Fibonacci.

Esempio dalla vita reale

Vediamo un esempio di utilizzo di una sequenza aritmetica nella vita reale. Immagina di voler organizzare una cena festiva in un ristorante. Di solito, in questo ristorante, le persone siedono a piccoli tavoli quadrati in modo che quattro persone possano sedersi a ogni tavolo.

Se unisci due tavoli, puoi accomodare 6 persone. 3 tavoli ospiterebbero 8 persone, e così via. Il ristorante ha solo 15 tavoli e tu arrivi con un grande gruppo di 40 persone. Ci saranno abbastanza tavoli per ospitare tutti a un grande tavolo congiunto?

Soluzione

La situazione sopra descritta descrive una sequenza aritmetica con la differenza comune f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … Il ristorante ha solo 15 tavoli. Pertanto, l'ultimo termine della sequenza sarà a₁₅. Per risolvere il problema, dobbiamo calcolare il valore di a₁₅ e confrontarlo con il numero di persone – 40. Utilizzando la regola della sequenza aritmetica, otterremo il seguente risultato:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Risposta

Unendo tutti i tavoli insieme avrai solo 32 posti a sedere, che sono insufficienti per ospitare tutti gli invitati a un unico tavolo.