ماشین حساب دنباله حسابی و هندسی

این ماشین حساب دنباله شامل محاسبه دنباله‌های حسابی، هندسی، و فیبوناچی یا دنباله بازگشتی است. در هر مورد، ماشین حساب دنباله، جمله n ام دنباله را پیدا می‌کند.

دستورالعمل‌های استفاده

ماشین حساب دنباله حسابی

از ماشین حساب دنباله حسابی برای یافتن جمله n ام دنباله حسابی استفاده کنید. اولین عدد دنباله و اختلاف مشترک (معمولاً به عنوان f نمایش داده می‌شود) را وارد کنید. سپس مقدار n را برای به دست آوردن جمله n ام دنباله وارد کنید. به عنوان مثال، اگر به جمله بیستم نیاز دارید، n = 20 را وارد کنید. ماشین حساب ارزش بیستم و مجموع تمام جملات تا (و از جمله) جمله بیستم را برمی‌گرداند.

ماشین حساب دنباله هندسی

برای یافتن جمله n ام دنباله هندسی از ماشین حساب دنباله هندسی استفاده کنید. اولین عدد دنباله، نسبت مشترک (معمولاً به عنوان r نمایش داده می‌شود)، و مقدار n را وارد کنید. سپس دکمه "محاسبه" را فشار دهید. ماشین حساب ارزش جمله n ام دنباله و مجموع تمام اعداد تا (و از جمله) جمله n ام را برمی‌گرداند.

ماشین حساب دنباله فیبوناچی

برای یافتن جمله n ام دنباله فیبوناچی از ماشین حساب دنباله فیبوناچی استفاده کنید. مقدار n را وارد کنید و دکمه "محاسبه" را فشار دهید. ماشین حساب جمله n ام دنباله و مجموع تمام اعداد تا (و از جمله) ارزش n ام را برمی‌گرداند.

تعاریف

دنباله‌های ریاضی

در ریاضیات، یک دنباله عددی به عنوان لیستی از اعداد به ترتیب تعریف می‌شود. "به ترتیب" به این معنا است که هر عدد موقعیت ثابتی دارد. یک دنباله عددی به عنوان لیستی از اعداد که با ویرگول جدا شده و در کروشه قرار گرفته‌اند، نمایش داده می‌شود. به عنوان مثال، {1, 3, 5, 7, 9} یا {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

هر جمله دنباله به صورت aₙ نمایش داده می‌شود، که در آن n – شماره آن جمله است. به عنوان مثال، در دنباله {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1، a₂ = 3 و غیره. معمولاً یک دنباله عددی دارای یک قاعده است که اجازه می‌دهد هر جمله آن دنباله را پیدا کنیم. سه دنباله پرکاربرد شامل دنباله‌های حسابی، هندسی، و فیبوناچی می‌شوند.

دنباله حسابی

تفاوت بین هر دو جمله مجاور در یک دنباله حسابی یک ثابت است. اگر این ثابت را با f نشان دهیم، خواهیم داشت aₙ₊₁ – aₙ = f، برای هر n. به طور کلی، هر دنباله حسابی می‌تواند به شکل زیر نوشته شود:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

دو عنصر مهم هر دنباله حسابی، اولین جمله a₁ و ثابت f به نام اختلاف مشترک هستند. با دانستن این دو مقدار، می‌توان قاعده دنباله حسابی را به شکل زیر نوشت:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

به عنوان مثال، بیایید جمله 9 ام یک دنباله حسابی با a₁ = 2 و f = 1.2 را پیدا کنیم. باید جمله 9 ام را پیدا کنیم. بنابراین، n = 9. با استفاده از قاعده دنباله حسابی، بلافاصله می‌گیریم:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

دنباله هندسی

در یک دنباله هندسی، هر جمله را می‌توان با ضرب کردن جمله قبلی در یک ثابت غیر صفر پیدا کرد. این ثابت معمولاً به عنوان r نشان داده می‌شود و به نام نسبت مشترک نامیده می‌شود. در یک دنباله هندسی، aₙ₊₁ = aₙ × r. به طور کلی، هر دنباله هندسی می‌تواند به شکل زیر نوشته شود:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

با دانستن اولین جمله و نسبت مشترک، قاعده دنباله هندسی به شکل زیر نوشته می‌شود:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

به عنوان مثال، بیایید جمله 5 ام دنباله هندسی با a1 = 6 و r = 2 را پیدا کنیم. باید جمله 5 ام را پیدا کنیم. بنابراین، n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

دنباله فیبوناچی

دنباله فیبوناچی دنباله زیر است:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

در این دنباله، هر جمله به عنوان مجموع دو جمله قبلی تعریف شده است:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

دو جمله اول یک دنباله فیبوناچی معمولاً به عنوان 0 و 1 تعریف می‌شوند.

برخلاف سایر دنباله‌ها، دنباله فیبوناچی با a₀ شروع می‌شود، نه a₁! این به این معناست که a₀ = 0، a₁ = 1، a₂ = 1، a₃ = 2 و به همین ترتیب است.

نسبت طلایی

دنباله فیبوناچی دارای خواص جالب بسیاری است، مهم‌ترین آن خاصیت نسبت طلایی است. این خاصیت به این معناست که نسبت هر دو عدد متوالی (شروع از a₃ و a₄) از دنباله فیبوناچی نزدیک به نسبت طلایی است، که تقریباً به عنوان 1.618034 برآورد شده و با ϕ نشان داده می‌شود. هرچه اصطلاحات دنباله بزرگ‌تر باشند، نسبت آن‌ها به نسبت طلایی نزدیک‌تر است. به عنوان مثال،

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

و به همین ترتیب

نسبت طلایی همچنین می‌تواند برای یافتن جملات دنباله فیبوناچی با استفاده از فرمول زیر به کار رود:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

هرچه از مقدار دقیق‌تر نسبت طلایی استفاده کنید، مقدار محاسبه شده aₙ به عدد متناظر دنباله فیبوناچی نزدیک‌تر خواهد بود.

مثال واقعی

بیایید یک مثال از استفاده از یک دنباله حسابی در زندگی واقعی را بررسی کنیم. تصور کنید می‌خواهید یک شام تعطیلاتی در یک رستوران برگزار کنید. معمولاً در این رستوران، مردم در میزهای مربع کوچک نشسته و چهار نفر در هر میز جای می‌گیرند.

اگر دو میز را کنار هم بکشید، می‌توانید 6 نفر را جا دهید. 3 میز 8 نفر و غیره. رستوران تنها 15 میز دارد و شما با یک گروه بزرگ 40 نفری می‌آیید. آیا می‌توانید از تمام میزها برای نشستن همه در یک میز بزرگ استفاده کنید؟

راه حل

وضعیت بالا یک دنباله حسابی با اختلاف مشترک f = 2 را توصیف می‌کند: a₁ = 4، a₂ = 6، a₃ = 8،... رستوران فقط 15 میز دارد. بنابراین، آخرین عبارت دنباله a₁₅ خواهد بود. برای حل مسأله، باید مقدار a₁₅ را محاسبه کرده و آن را با تعداد افراد - 40 مقایسه کنیم. با استفاده از قانون دنباله حسابی، به موارد زیر خواهیم رسید:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

پاسخ

ترکیب کردن همه میزها فقط به شما 32 صندلی می‌دهد که کافی نیست تا همه مهمانان را در یک میز بزرگ قرار دهید.