Calculateur de séquences arithmétiques et géométriques

Ce calculateur de suites de nombres comprend un calculateur de suites arithmétiques, géométriques et de Fibonacci ou récursives. Dans chaque cas, le calculateur de suites permet de trouver le nième terme de la suite.

Mode d'emploi

Calculateur de suites arithmétiques

Le calculateur de suites arithmétiques permet de trouver le nᵗʰ terme d'une suite arithmétique. Entrez le premier nombre de la suite et la différence commune (généralement désignée par f). Entrez ensuite la valeur de n pour obtenir le nᵗʰ nombre de la suite. Par exemple, si vous avez besoin du vingtième terme, entrez n = 20. Le calculateur renvoie la valeur 20ᵗʰ et la somme de tous les termes jusqu'au 20ᵗʰ terme (inclus).

Calculateur de suites géométriques

Le calculateur de suites géométriques permet de trouver le terme nᵗʰ d'une suite géométrique. Entrez le premier nombre de la suite, le rapport commun (généralement désigné par r) et la valeur de n. Appuyez ensuite sur "Calculer". Le calculateur renvoie la valeur du terme nᵗʰ de la suite et la somme de tous les nombres jusqu'au terme nᵗʰ (inclus).

Calculateur de suites de Fibonacci

Le calculateur de la suite de Fibonacci permet de trouver le terme nᵗʰ de la suite de Fibonacci. Entrez la valeur de n et appuyez sur "Calculer". Le calculateur renvoie le terme nᵗʰ de la suite et la somme de tous les nombres jusqu'à (et y compris) la valeur nᵗʰ.

Définitions

Séquences mathématiques

En mathématiques, une suite de nombres est définie comme une liste de nombres dans l'ordre. L'expression "dans l'ordre" signifie que chaque nombre a une position fixe. Une séquence de nombres est représentée par une liste de nombres séparés par des virgules et placés entre crochets. Par exemple, {1, 3, 5, 7, 9} ou {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...}.

Chaque terme de la séquence est désigné par aₙ, où n - est le numéro de ce terme. Par exemple, dans la séquence {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1, a₂ = 3, etc. Une suite de nombres possède généralement une règle permettant de trouver n'importe quel terme de cette suite. Les trois suites les plus couramment utilisées sont la suite arithmétique, la suite géométrique et la suite de Fibonacci.

Séquence arithmétique

La différence entre deux termes voisins est une constante dans une suite arithmétique. Si nous désignons cette constante par f, nous obtiendrons aₙ₊₁ - aₙ = f, pour tout n. En général, toute suite arithmétique peut être écrite comme suit :

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, ...}.

Les deux éléments importants de toute suite arithmétique sont le premier terme a₁ et la constante f appelée différence commune. Connaissant ces deux valeurs, nous pouvons écrire la règle de la suite arithmétique :

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Par exemple, trouvons le 9ᵗʰ terme d'une suite arithmétique dont a₁ = 2 et f = 1,2. Il faut trouver le 9ᵗʰ terme. Par conséquent, n = 9. En utilisant la règle de la suite arithmétique, nous obtenons immédiatement ce qui suit :

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Suite géométrique

Dans une suite géométrique, chaque terme peut être trouvé en multipliant le terme précédent par une constante non nulle. Cette constante est généralement désignée par r, appelé le rapport commun. Dans une suite géométrique, aₙ₊₁ = aₙ × r. En général, toute suite géométrique peut être écrite comme suit :

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, ...}.

Connaissant le premier terme et le rapport commun, la règle de la suite géométrique peut s'écrire comme suit :

aₙ = a₁ × rⁿ-¹

Par exemple, trouvons le 5e terme de la suite géométrique avec a1 = 6, et r = 2. Nous devons trouver le 5ème terme. Par conséquent, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵-¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Séquence de Fibonacci

La suite de Fibonacci est la suite suivante :

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...}

Dans cette suite, chaque terme est défini comme la somme de deux termes précédents :

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Les deux premiers termes d'une suite de Fibonacci sont généralement définis comme étant 0 et 1.

Contrairement à d'autres suites, la suite de Fibonacci commence par a₀, et non par a₁ ! Cela signifie que a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, et ainsi de suite.

Ratio d'or

La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés intéressantes, la plus notable étant celle du nombre d'or. Cette propriété signifie que le rapport de deux nombres consécutifs (commençant par a₃ et a₄) de la suite de Fibonacci est proche du nombre d'or, approximativement estimé à 1,618034, et noté ϕ. Plus les termes de la suite sont grands, plus leur rapport est proche du nombre d'or. Par exemple,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

et ainsi de suite

Le nombre d'or peut également être utilisé pour trouver les termes de la suite de Fibonacci en utilisant la formule suivante :

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Plus la valeur du nombre d'or utilisée est précise, plus la valeur calculée de an sera proche de l'entier correspondant de la suite de Fibonacci.

Exemple pratique

Voyons un exemple d'utilisation d'une suite arithmétique dans la vie réelle. Imaginez que vous souhaitiez organiser un dîner de fête dans un restaurant. Habituellement, dans ce restaurant, les gens s'assoient à de petites tables carrées de manière à ce que quatre personnes puissent s'asseoir à chaque table.

Si vous rapprochez deux tables, vous pouvez asseoir 6 personnes. 3 tables peuvent accueillir 8 personnes, et ainsi de suite. Le restaurant ne dispose que de 15 tables et vous venez avec un grand groupe de 40 personnes. Y aura-t-il suffisamment de tables pour que tout le monde puisse s'asseoir à une grande table commune ?

Solution

La situation ci-dessus décrit une suite arithmétique dont la différence commune est f = 2 : a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, ... Le restaurant ne dispose que de 15 tables. Par conséquent, le dernier terme de la séquence sera a₁₅. Pour résoudre le problème, nous devons calculer la valeur de a₁₅ et la comparer au nombre de personnes - 40. En utilisant la règle de la suite arithmétique, nous obtiendrons le résultat suivant :

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Réponse

En déplaçant toutes les tables ensemble, vous n'obtiendrez que 32 places, ce qui est insuffisant pour placer tous les invités à une seule table.