Calculatrice de quartiles

La calculatrice de quartiles est vraiment utile lorsque vous souhaitez trouver les cinq nombres d'un diagramme en boîte. Cette calculatrice de statistiques calcule le premier quartile (Q1), le deuxième quartile (Q2) ou encore la médiane, le troisième quartile (Q3), la valeur minimale et la valeur maximale de la série de données fournie. De plus, elle calcule aussi l'écart interquartile et l'étendue.

Il vous suffit de taper ou de copier-coller les données et de cliquer sur la touche « Calculate ». Assurez-vous de séparer chaque nombre par une virgule ou un espace.

Quartiles

Parmi les différentes mesures de position, figurent les quartiles. Les quartiles aident à décrire la position d'une certaine valeur par rapport à d'autres valeurs dans une série de données.

Ils sont utilisés pour diviser une liste croissante de données (les données sont classées par ordre croissant) en quatre sections égales. Chacune de ces sections contient un nombre égal d'éléments. Pour une série de données, nous pouvons calculer trois quartiles.

• Premier quartile (Q1 ou le quartile inférieur)
• Deuxième quartile (Q2 ou la médiane)
• Troisième quartile (Q3 ou le quartile supérieur)

Le premier quartile (Q1) est la valeur d'une série de données disposées dans l'ordre croissant qui sépare les 25 % des données les plus basses des 75 % des données les plus élevées. Ainsi, 25 % des éléments sont inférieurs au premier quartile et 75 % des éléments sont supérieurs au premier quartile. Cela équivaut au 25e centile de la série de données.

Le deuxième quartile (Q2) est la valeur d'une série de données disposées dans l'ordre croissant qui sépare les 50 % des données les plus basses des 50 % des données les plus élevées. Ainsi, 50 % des éléments sont inférieurs au deuxième quartile et 50 % des éléments sont supérieurs au deuxième quartile. Le deuxième quartile est exactement égal à la médiane ainsi qu'au 50e centile de la série de données.

Le troisième quartile (Q3) est la valeur d'une série de données disposées dans l'ordre croissant qui sépare les 75 % des données les plus basses des 25 % des données les plus élevées. Ainsi, 75 % des éléments sont inférieurs au troisième quartile et 25 % des éléments sont supérieurs au troisième quartile. Cela équivaut au 75e centile de la série de données.

Calcul des quartiles

Vous pouvez suivre les étapes ci-dessous pour trouver les quartiles.

• Disposez les données dans l'ordre croissant.
• Trouvez la médiane des valeurs de la série de données : c'est le deuxième quartile.
• Déterminez la médiane des valeurs qui sont inférieures au deuxième quartile : c'est le premier quartile.
• Déterminez la médiane des valeurs qui sont supérieures au deuxième quartile : c'est le troisième quartile.

Exemple 1

La série de données suivante représente le salaire initial des comptables qui viennent d'obtenir leur diplôme à l'université. Pour les salaires initiaux, trouvez la médiane (Q2), le quartile inférieur (Q1) et le quartile supérieur (Q3). Expliquez vos résultats.

55.000 $, 60.000 $, 52.000 $, 45.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 48.000 $, 58.000 $, 72.000 $, 66.000 $, 45.000 $, 50.000 $, 54.000 $, 65.000 $, 71.000 $

Réponse

Nous allons d'abord classer les données par ordre croissant.

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Ensuite, nous trouverons l'emplacement du deuxième quartile, soit la médiane.

$$Deuxième\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{me}élément=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{me}élément=8^{me}élément=58.000$$

Ensuite, trouvons la médiane des valeurs en dessous de Q2 pour déterminer Q1.

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $

Premier quartile (Q1) = 50.000 $

Ensuite, trouvons la médiane des valeurs au-dessus de Q2 pour déterminer Q3.

60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Troisième quartile (Q3) = 71.000 $

Nous pouvons interpréter les quartiles ci-dessus comme suit.

25 % des comptables nouvellement diplômés gagnent moins de 50.000 $ alors que 25 % d'entre eux gagnent plus de 71.000 $. 50 % des comptables nouvellement diplômés gagnent plus de 58.000 $ tandis que les 50 % restants gagnent moins que cela.

Dans l'exemple ci-dessus, vous pouvez voir que pour un nombre impair de données, les quartiles correspondent aux valeurs des données d'origine. Mais pour un nombre pair de données, les quartiles ne correspondent pas aux valeurs initiales. Modifions l'exemple ci-dessus pour mieux comprendre.

Exemple 2

Supposons que vous ayez omis d'inclure un salaire dans les données de l'exemple 1. Le salaire que vous avez omis est de 95.000 $. Pour les salaires initiaux, trouvez à nouveau la médiane (Q2), le quartile inférieur (Q1) et le quartile supérieur (Q3).

Réponse

Nous allons d'abord classer les données par ordre croissant.

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Ensuite, nous trouverons l'emplacement des quartiles.

$$Deuxième\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{me}élément=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{me}élément=8,5^{me}élément$$

$$Deuxième\ quartile(Q2)=\frac{8^{me}élément+9^{me}élément}{2}=\frac{58.000+60.000}{2}=59.000$$

Divisons à présent la série de données en deux groupes au niveau de la médiane. Ensuite, trouvons la médiane des valeurs en dessous de Q2 pour déterminer Q1.

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $

Premier quartile (Q1) = (50.000 $ + 52.000 $)/2 = 51.000 $

Ensuite, trouvons la médiane des valeurs au-dessus de Q2 pour déterminer Q3.

60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Troisième quartile (Q3) = (71.000 $ + 72.000 $)/2 = 71.500 $

Écart interquartile

La différence entre le quartile supérieur (Q3) et le quartile inférieur (Q1) se nomme l'écart interquartile.

• Écart interquartile (EI) = quartile supérieur - quartile inférieur
• Écart interquartile (EI) = troisième quartile - premier quartile
• Écart interquartile (EI) = Q3 - Q1

L'écart interquartile permet d'éliminer 25 % des éléments les plus bas et 25 % des éléments les plus élevés de la liste de données. Donc lorsqu'on parle d'écart interquartile, on se concentre sur l'écartement des 50 % centraux de la liste de données. Comme l'écart interquartile élimine les éléments en-dessous du quartile inférieur et les éléments au-dessus du quartile supérieur, l'écart interquartile ne contient pas les valeurs extrêmes ou les valeurs aberrantes de la série de données. L'inconvénient majeur du calcul de l'étendue est ainsi éliminé.

Exemple 3

Trouvez l'écart interquartile pour l'exemple 1.

Réponse

Nous avons déjà trouvé les quartiles pour l'intervalle de données :

• Premier quartile (Q1) = 50.000 $
• Deuxième quartile (Q2) = 58.000 $
• Troisième quartile (Q3) = 71.000 $

Appliquons les données ci-dessus à la formule de l'écart interquartile.

Écart interquartile (EI) = troisième quartile (Q3) - premier quartile (Q1) = 71.000 $ - 50.000 $ = 21.000 $

Exemple 4

Trouvez l'écart interquartile pour l'exemple 2.

Réponse

Nous avons déjà trouvé les quartiles pour l'intervalle de données :

• Premier quartile (Q1) = 51.000 $
• Deuxième quartile (Q2) = 59.000 $
• Troisième quartile (Q3) = 71.500 $

Appliquons les données ci-dessus à la formule de l'écart interquartile.

Écart interquartile (EI) = troisième quartile (Q3) - premier quartile (Q1) = 71.500 $ - 51.000 $ = 20.500 $

Valeurs minimales et maximales

La valeur minimale d'une série de données est la valeur la plus basse de la série. Lorsque vous classez une série de données dans l'ordre croissant, il s'agit de la première valeur de votre série.

La valeur maximale d'une série de données est la valeur la plus élevée de la série. Lorsque vous classez une série de données dans l'ordre croissant, il s'agit de la dernière valeur de votre série.

La valeur minimale et la valeur maximale nous donnent une idée de l'écartement total de la série de données. L'étendue, qui est la mesure de base de la dispersion, repose sur la valeur minimale et la valeur maximale de la série de données.

Exemple 5

Trouvez les valeurs minimales et maximales de la série de données pour le salaire initial des comptables nouvellement diplômés de l'exemple 1.

Réponse

Nous avons déjà classé la série de données dans l'ordre croissant ci-dessous.

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Le salaire minimum est le premier salaire dans la liste ci-dessus. Par conséquent,

le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire maximum est le dernier salaire dans la liste ci-dessus. Par conséquent,

le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 75.000 $

Exemple 6

Trouvez les valeurs minimales et maximales de la série de données pour le salaire initial des comptables nouvellement diplômés de l'exemple 2.

Réponse

Nous avons déjà classé la série de données dans l'ordre croissant ci-dessous.

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Le salaire minimum est le premier salaire dans la liste ci-dessus. Par conséquent,

le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire maximum est le dernier salaire dans la liste ci-dessus. Par conséquent,

le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 95.000 $

Étendue d'une série

L'étendue en statistiques est la mesure la plus élémentaire de la dispersion d'une série de données. On la détermine en calculant la différence entre la plus grande valeur (maximale) et la plus petite valeur (minimale) de la série de données.

L'étendue d'une série = valeur maximale - valeur minimale

L'étendue d'une série = la plus grande valeur - la plus petite valeur

L'étendue est la distance totale ou l'écartement total entre les valeurs extrêmes de la série de données. C'est une mesure approximative de la dispersion.

L'étendue ne dépend que des deux éléments extrêmes de la série de données. Si les valeurs extrêmes contiennent des valeurs aberrantes, l'étendue se retrouve facilement déformée et biaisée.

Comme l'étendue n'est pas basée sur toutes les données de la série, elle n'est pas considérée comme une bonne mesure de la dispersion.

Exemple 7

Trouvez l'étendue de la série de données pour le salaire initial des comptables nouvellement diplômés de l'exemple 1.

Réponse

Nous avons déjà trouvé la valeur minimale et la valeur maximale de la série de données.

Le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 75.000 $

À présent, nous allons incorporer les valeurs ci-dessus dans la formule de l'étendue.

L'étendue d'une série = valeur maximale - valeur minimale = 75.000 $ - 45.000 $ = 30.000 $

Exemple 8

Trouvez l'étendue de la série de données pour le salaire initial des comptables nouvellement diplômés de l'exemple 2.

Réponse

Nous avons déjà trouvé la valeur minimale et la valeur maximale de la série de données.

Le salaire initial minimum des comptables nouvellement diplômés = 45.000 $

Le salaire initial maximum des comptables nouvellement diplômés = 95.000 $

À présent, nous allons incorporer les valeurs ci-dessus dans la formule de l'étendue.

L'étendue d'une série = valeur maximale - valeur minimale = 95.000 $ - 45.000 $ = 50.000 $

Applications du calcul des quartiles dans la vraie vie

Les calculs de quartiles sont utiles lorsque nous souhaitons éliminer les valeurs extrêmes de la série de données et examiner sa distribution. La liste ci-dessous indique les différents domaines dans lesquels on utilise les quartiles pour prendre des décisions.

Ressources humaines : les quartiles de salaires sont déterminés avant d'établir l'échelle salariale des employés dans une entreprise. Cela permet d'éliminer les salaires extrêmement bas, tels que les salaires des stagiaires, et les salaires extrêmement élevés résultant de l'expérience et des formidables talents des employés.

Finances : les quartiles sont calculés au moment de planifier les dépenses mensuelles afin de d'avoir une idée sur la façon dont les dépenses ont été réparties dans le passé. Cela aide à éviter le sur-budget ou le sous-budget.

Cela permet de fournir des données sur l'étendue des capacités de production qui ne sont pas faussées par les pannes de courant, les grèves, les jours de rupture de stock, etc.

Marketing : lorsque les spécialistes du marketing analysent les gammes de prix de leurs concurrents, ils identifient les quartiles des prix des concurrents. Ils peuvent ensuite omettre le prix des produits de mauvaise qualité et des produits de marque au cours de l'analyse.