अंकगणित और ज्यामितीय अनुक्रम गणक

इस संख्या अनुक्रम गणक में अंकगणित, ज्यामितीय और फाइबोनैचि या पुनरावर्ती अनुक्रम गणक शामिल हैं। प्रत्येक मामले में, अनुक्रम गणक अनुक्रम की n वीं अवधि पाता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

अंकगणितीय अनुक्रम गणक

अंकगणितीय अनुक्रम के nवां शब्द को खोजने के लिए अंकगणितीय अनुक्रम गणक का उपयोग करें। अनुक्रम की पहली संख्या और सार्व अंतर दर्ज करें (आमतौर पर f के रूप में चिह्नित)। फिर अनुक्रम की nवां संख्या प्राप्त करने के लिए n का मान दर्ज करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको बीसवीं अवधि की आवश्यकता है, तो n = 20 दर्ज करें। गणक 20वां मान और 20वां अवधि तक (और सहित) सभी शर्तों का योग लौटाएगा।

ज्यामितीय अनुक्रम गणक

ज्यामितीय अनुक्रम के nवां शब्द को खोजने के लिए ज्यामितीय अनुक्रम गणक का उपयोग करें। अनुक्रम की पहली संख्या दर्ज करें, सामान्य अनुपात (आमतौर पर r के रूप में चिह्नित), और n का मान। फिर "कैलकुलेट" दबाएं। गणक अनुक्रम के nवां पद का मान और nवां पद तक (और सहित) सभी संख्याओं का योग लौटाएगा।

फाइबोनैचि अनुक्रम गणक

फाइबोनैचि अनुक्रम के nवां शब्द को खोजने के लिए फाइबोनैचि अनुक्रम गणक का उपयोग करें। n का मान दर्ज करें, और "कैलकुलेट" दबाएं। गणक अनुक्रम की nवां अवधि और nवां मान तक (और सहित) सभी संख्याओं का योग लौटाएगा।

परिभाषाएं

गणितीय अनुक्रम

गणित में, संख्या अनुक्रम को क्रम में संख्याओं की सूची के रूप में परिभाषित किया जाता है। "क्रम में" का अर्थ है कि प्रत्येक संख्या की एक निश्चित स्थिति होती है। एक संख्या अनुक्रम को अल्पविराम द्वारा अलग की गई संख्याओं की सूची के रूप में दर्शाया जाता है और घुमावदार कोष्ठक में संलग्न किया जाता है। उदाहरण के लिए, {1, 3, 5, 7, 9} या {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}।

प्रत्येक अनुक्रम शब्द को aₙ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ n - उस पद की संख्या है। उदाहरण के लिए, {1, 3, 5, 7, 9} क्रम में a₁ = 1, a₂ = 3, इत्यादि। एक संख्या अनुक्रम में आमतौर पर एक नियम होता है जो किसी को उस क्रम के किसी भी शब्द को खोजने की अनुमति देता है। तीन सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले क्रम अंकगणित, ज्यामितीय और फाइबोनैचि हैं।

अंकगणित क्रम

किसी अंकगणितीय क्रम में किन्हीं दो पड़ोसी शब्दों के बीच का अंतर एक स्थिरांक होता है। यदि हम उस स्थिरांक को f के रूप में निरूपित करते हैं, तो हमें किसी भी n के लिए aₙ₊₁ – aₙ = f प्राप्त होगा। सामान्य तौर पर, किसी अंकगणितीय अनुक्रम को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

{a₁, a₁ f, a₁ 2f, a₁ 3f, …}

किसी अंकगणितीय अनुक्रम के दो महत्वपूर्ण तत्व पहला पद a₁ हैं, और अचर f को सार्व अंतर कहा जाता है। इन दो मूल्यों को जानने के बाद, हम अंकगणितीय अनुक्रम के नियम को लिख सकते हैं:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

उदाहरण के लिए, आइए a₁ = 2 और f = 1.2 के साथ अंकगणितीय अनुक्रम का 9वां पद ज्ञात करें। हमें 9वां शब्द खोजने की आवश्यकता है। इसलिए, n = 9। अंकगणितीय अनुक्रम नियम का उपयोग करते हुए, हम तुरंत निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

ज्यामितीय क्रम

एक ज्यामितीय अनुक्रम में, प्रत्येक पद को पिछले पद को एक गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा करके पाया जा सकता है। उस स्थिरांक को आमतौर पर r के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे सामान्य अनुपात कहा जाता है। एक ज्यामितीय अनुक्रम में, aₙ₊₁ = aₙ × r। सामान्य तौर पर, किसी भी ज्यामितीय अनुक्रम को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

प्रथम पद और सार्व अनुपात को जानने पर गुणोत्तर अनुक्रम के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

उदाहरण के लिए, आइए a1 = 6 और r = 2 के साथ ज्यामितीय अनुक्रम का 5वाँ पद ज्ञात करें। हमें पाँचवाँ पद ज्ञात करना है। इसलिए, n = 5।

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

फिबोनाची अनुक्रम

फाइबोनैचि अनुक्रम निम्नलिखित अनुक्रम है:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

In this sequence, each term is defined as the sum of two previous terms:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

फाइबोनैचि अनुक्रम के पहले दो पदों को आमतौर पर 0 और 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अन्य अनुक्रमों के विपरीत, फाइबोनैचि अनुक्रम a₀ से शुरू होता है, a₁ से नहीं! इसका मतलब है कि a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, और इसी तरह आगे भी।

सुनहरा अनुपात

फाइबोनैचि अनुक्रम में कई दिलचस्प गुण हैं, सबसे उल्लेखनीय स्वर्णिम अनुपात संपत्ति है। इस संपत्ति का मतलब है कि फाइबोनैचि अनुक्रम से किसी भी दो लगातार संख्याओं (a₃ और a₄ से शुरू) का अनुपात सुनहरे अनुपात के करीब है, लगभग 1.618034 के रूप में अनुमानित है, और ϕ के रूप में दर्शाया गया है। अनुक्रम की शर्तें जितनी अधिक होंगी, उनका अनुपात सुनहरे अनुपात के उतना ही करीब होगा। उदाहरण के लिए,

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

और इसी तरह

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके फाइबोनैचि अनुक्रम की शर्तों को खोजने के लिए सुनहरे अनुपात का भी उपयोग किया जा सकता है:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

सुनहरे अनुपात का जितना अधिक सटीक मान आप उपयोग करेंगे, a का परिकलित मान फाइबोनैचि अनुक्रम के संबंधित पूर्णांक के उतना ही करीब होगा।

वास्तविक जीवन में उदाहरण

आइए वास्तविक जीवन में अंकगणितीय अनुक्रम का उपयोग करने का एक उदाहरण देखें। कल्पना कीजिए कि आप एक रेस्तरां में छुट्टी के खाने का आयोजन करना चाहते हैं। आमतौर पर इस रेस्टोरेंट में लोग छोटे चौकोर टेबल पर बैठते हैं ताकि हर टेबल पर चार लोग बैठ सकें।

अगर आप दो टेबल एक साथ मिलते हैं, तो आप 6 लोगों के बैठने की जगह बना सकते हैं। 3 टेबल में 8 लोग बैठ सकते हैं, इत्यादि। रेस्तरां में केवल 15 टेबल हैं, और आप 40 लोगों के एक बड़े समूह के साथ आ रहे हैं। क्या सभी के लिए एक बड़े जोड़ मेज़ पर बैठने के लिए पर्याप्त मेजें होंगी?

हल

उपरोक्त स्थिति सामान्य अंतर f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … के साथ एक अंकगणितीय अनुक्रम का वर्णन करती है। रेस्तरां में केवल 15 टेबल हैं। इसलिए, अनुक्रम का अंतिम पद a₁₅ होगा। समस्या को हल करने के लिए, हमें a₁₅ के मान की गणना करने और इसकी तुलना लोगों की संख्या - 40 से करने की आवश्यकता है। अंकगणितीय अनुक्रम नियम का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्राप्त करेंगे:

a₁₅ = a₁ f × (15-1) = 4 2 × 14 = 4 28 = 32

उत्तर

सभी टेबल को एक साथ हिलाने से आपको केवल 32 सीटें मिलेंगी, जो सभी मेहमानों को एक टेबल पर रखने के लिए पर्याप्त नहीं है।