Kalkulator Urutan Aritmatika dan Geometri

Kalkulator deretan angka ini mencakup aritmatika, geometri, dan Fibonacci atau kalkulator deretan rekursif. Di dalam setiap kasus, kalkulator deretan ini akan menemukan suku ke-n dari urutan tersebut.

Petunjuk penggunaan

Kalkulator deret aritmatika

Gunakanlah kalkulator deret aritmetika untuk mencari suku ke-n dari suatu barisan aritmetika. Masukkan angka pertama dari barisan tersebut dan selisih umumnya (biasanya dilambangkan dengan f). Kemudian masukkan nilai n untuk mendapatkan angka ke-n dari barisan tersebut. Misalnya, jika Anda memerlukan suku kedua puluh, masukkan n = 20. Kalkulator ini akan memberikan jawaban untuk nilai ke-20 dan jumlah semua suku hingga (dan termasuk) suku ke-20.

Kalkulator deret geometris

Gunakan kalkulator deret geometri ini untuk mencari suku ke-n dari barisan geometri. Masukkanlah angka pertama dari barisan tersebut, rasio umum (biasanya dilambangkan sebagai r), dan nilai n. Lalu tekan "Hitung." Kalkulator ini akan memberikan jawaban untuk nilai dari suku ke-n dari barisan dan jumlah semua bilangan hingga (dan termasuk) suku ke-n.

Kalkulator Deret Fibonacci

Gunakan kalkulator deret Fibonacci untuk mencari suku ke-n dari deret Fibonacci. Masukkan nilai n, dan tekan "Hitung." Kalkulator ini akan memberikan jawaban suku ke-n dari barisan dan jumlah semua angka hingga (dan termasuk) nilai ke-n.

Untuk mengosongkan kolom atau bidang input di setiap kalkulator, tekan "Hapus".

Definisi

Deret matematika

Di dalam matematika, sebuah deretan angka didefinisikan sebagai sebuah daftar angka di dalam deretan. "Berurutan" berarti setiap angka memiliki posisi yang tetap. Deretan atau barisan angka dilambangkan sebagai daftar angka yang dipisahkan oleh titik koma dan dilampirkan dalam tanda kurung kurawal. Misalnya, {1, 3, 5, 7, 9} atau {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Setiap suku deretan dilambangkan dengan aₙ, di mana n – adalah bilangan dari suku tersebut. Misalnya pada deret {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1, a₂ = 3, dan seterusnya. Barisan bilangan biasanya memiliki aturan yang memungkinkan seseorang untuk menemukan suku apapun dari barisan tersebut. Tiga urutan yang paling umum digunakan adalah aritmatika, geometri, dan Fibonacci.

Deret aritmatika

Perbedaan antara dua suku tetangga adalah konstanta yang ada di dalam deret aritmatika. Jika kita menyatakan konstanta itu sebagai f, kita akan mendapatkan aₙ₊₁ – aₙ = f, untuk sembarang n. Secara umum, setiap deret aritmatika dapat ditulis sebagai berikut:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

Dua elemen penting dari setiap deret aritmetika adalah suku pertama a₁, dan konstanta f yang disebut sebagai selisih umum. Dengan mengetahui kedua nilai ini, kita dapat menuliskan aturan deret aritmatika:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Sebagai contoh, mari kita mencari suku ke-9 dari deret aritmatika dengan a₁ = 2 dan f = 1,2. Kita perlu mencari suku ke 9. Oleh karena itu, n = 9. Dengan menggunakan aturan deret aritmetika, kita akan langsung mendapatkan berikut ini:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Deret geometri

Di dalam deret geometri, setiap suku dapat ditemukan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan konstanta bukan nol. Konstanta tersebut biasanya dilambangkan sebagai r, yang disebut sebagai rasio umum. Di dalam deret geometri, aₙ₊₁ = aₙ × r. Secara umum, setiap barisan geometri dapat ditulis sebagai berikut:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Dengan mengetahui suku pertama dan rasio umum, aturan deret geometri dapat ditulis sebagai berikut:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Sebagai contoh, mari kita mencari suku ke-5 dari deret geometri dengan a₁ = 6, dan r = 2. Kita perlu mencari suku ke-5. Oleh karena itu, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Deret Fibonacci

Deret Fibonacci adalah deretan berikut:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

Di dalam barisan ini, setiap istilah didefinisikan sebagai jumlah dari dua istilah sebelumnya:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Dua suku pertama dari deret Fibonacci umumnya didefinisikan sebagai 0 dan 1.

Tidak seperti deret lainnya, deret Fibonacci dimulai dengan a₀, bukan a₁! Artinya a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, dan seterusnya.

Rasio emas

Deret Fibonacci memiliki banyak sifat yang menarik, dan, yang paling menonjol adalah properti rasio emas. Properti ini berarti bahwa rasio dari dua angka berurutan (dimulai dengan a₃ dan a₄) dari deret Fibonacci mendekati rasio emas, kira-kira diperkirakan 1,618034, dan dilambangkan sebagai ϕ. Semakin besar suku dari deretan tersebut, semakin dekat rasionya dengan rasio emas. Misalnya,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

dan seterusnya.

Rasio emas juga dapat digunakan untuk mencari suku-suku dari deret Fibonacci dengan menggunakan rumus berikut:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Semakin akurat nilai dari rasio emas yang akan Anda gunakan, semakin dekat nilai yang dihitung dari suatu wasiat dengan bilangan bulat yang sesuai dari deret Fibonacci.

Contoh di kehidupan nyata

Mari kita melihat contoh penggunaan deret aritmatika di dalam kehidupan nyata. Bayangkan Anda ingin merencanakan sebuah makan malam liburan di sebuah restoran. Biasanya di restoran ini, para tamu duduk di meja persegi kecil sehingga empat orang akan muat di setiap meja.

Jika Anda memindahkan dua meja secara bersamaan, Anda dapat menampung 6 orang. 3 meja akan menampung 8 orang, dan seterusnya. Namun, restoran ini hanya memiliki 15 meja, dan Anda datang dengan kelompok besar yang terdiri dari 40 orang. Apakah akan ada meja yang cukup untuk menampung semua orang yang datang bersama Anda di satu meja yang besar?

Solusi

Situasi di atas menggambarkan suatu deret aritmatika dengan selisih umum f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … Restoran tersebut hanya memiliki 15 meja. Jadi, suku terakhir dari barisan tersebut adalah a₁₅. Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita perlu menghitung nilai a₁₅ dan membandingkannya dengan jumlah orang yang akan datang – 40. Dengan menggunakan aturan dari deret aritmetika, kita akan mendapatkan persamaan berikut:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Jawaban

Dengan memindahkan semua meja hanya akan memberikan 32 kursi, yang tidak cukup untuk menampung semua tamu di satu meja.