산술 및 기하 수열 계산기

이 수열 계산기는 산술, 기하 및 피보나치 또는 재귀 수열 계산기를 포함합니다. 각 경우에, 수열 계산기는 수열의 n번째 항을 찾습니다.

사용 방법

산술 수열 계산기

산술 수열 계산기를 사용하여 산술 수열의 n번째 항을 찾으세요. 수열의 첫 번째 숫자와 공차(보통 f로 표기)를 입력하세요. 그런 다음 n의 값을 입력하여 수열의 n번째 숫자를 얻으세요. 예를 들어, 스무 번째 항이 필요한 경우, n = 20을 입력합니다. 계산기는 20번째 값과 그 20번째 항까지(포함하여) 모든 항들의 합을 반환합니다.

기하 수열 계산기

기하 수열 계산기를 사용하여 기하 수열의 n번째 항을 찾으세요. 수열의 첫 번째 숫자, 공비(보통 r로 표기), 그리고 n의 값을 입력하세요. 그런 다음 "계산"을 누르세요. 계산기는 수열의 n번째 항의 값을 그리고 그 n번째 항까지(포함하여) 모든 숫자들의 합을 반환합니다.

피보나치 수열 계산기

피보나치 수열 계산기를 사용하여 피보나치 수열의 n번째 항을 찾으세요. n의 값을 입력하고 "계산"을 누르세요. 계산기는 수열의 n번째 항과 그 n번째 값까지(포함하여) 모든 숫자들의 합을 반환합니다.

정의

수학적 수열

수학에서 수열은 순서대로 나열된 숫자 목록으로 정의됩니다. "순서대로"라는 것은 각 숫자가 고정된 위치를 가진다는 의미입니다. 수열은 쉼표로 구분되고 중괄호로 둘러싸인 숫자 목록으로 표시됩니다. 예를 들어, {1, 3, 5, 7, 9} 또는 {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}와 같습니다.

각 수열 항은 aₙ으로 표시되며, 여기서 n은 해당 항의 번호입니다. 예를 들어, {1, 3, 5, 7, 9} 수열에서 a₁ = 1, a₂ = 3 등입니다. 수열에는 보통 그 수열의 어떤 항이든 찾을 수 있는 규칙이 있습니다. 가장 흔히 사용되는 세 가지 수열은 산술, 기하 및 피보나치입니다.

산술 수열

산술 수열에서는 어떤 두 이웃하는 항 사이의 차이가 일정합니다. 이 상수를 f로 표시하면, aₙ₊₁ – aₙ = f, 모든 n에 대해 얻을 수 있습니다. 일반적으로, 어떤 산술 수열도 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

어떤 산술 수열의 두 가지 중요 요소는 첫 번째 항 a₁과 공차라고 불리는 상수 f입니다. 이 두 값을 알고 있으면, 산술 수열의 규칙을 작성할 수 있습니다:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

예를 들어, a₁ = 2이고 f = 1.2인 산술 수열의 9번째 항을 찾아봅시다. 9번째 항을 찾아야 하므로, n = 9입니다. 산술 수열의 규칙을 사용하면, 바로 다음을 얻습니다:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

기하 수열

기하 수열에서 각 항은 이전 항에 0이 아닌 상수를 곱하여 찾을 수 있습니다. 이 상수는 보통 r로 표시되며, 공비라고 불립니다. 기하 수열에서 aₙ₊₁ = aₙ × r입니다. 일반적으로, 어떤 기하 수열도 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

첫 번째 항과 공비를 알고 있으면, 기하 수열의 규칙은 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

예를 들어, a₁ = 6이고 r = 2인 기하 수열의 5번째 항을 찾아봅시다. 5번째 항을 찾아야 하므로, n = 5입니다.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

피보나치 수열

피보나치 수열은 다음과 같습니다:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

이 수열에서 각 항은 이전 두 항의 합으로 정의됩니다:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

피보나치 수열의 첫 두 항은 흔히 0과 1로 정의됩니다.

다른 수열들과 달리, 피보나치 수열은 a₁이 아닌 a₀부터 시작합니다! 이는 a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2 등이라는 의미입니다.

황금비

피보나치 수열은 많은 흥미로운 특성을 가지고 있으며, 그중 가장 주목할 만한 것은 황금비 특성입니다. 이 특성은 피보나치 수열에서 임의의 두 연속된 숫자(피보나치 수열의 a₃와 a₄부터 시작)의 비율이 황금비, 대략 1.618034로 추정되며, ϕ로 표시된다는 것을 의미합니다. 수열의 항이 클수록 그 비율은 황금비에 더 가까워집니다. 예를 들어,

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

그리고 이런 식으로 계속됩니다.

황금비는 다음 공식을 사용하여 피보나치 수열의 항을 찾는 데에도 사용될 수 있습니다: s $$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

황금비의 더 정확한 값을 사용할수록, 계산된 an의 값은 피보나치 수열의 해당 정수에 더 가까워질 것입니다.

실생활 예제

산술 수열을 실생활에서 사용하는 예를 살펴봅시다. 식당에서 휴가 저녁 식사를 조직하고 싶다고 상상해 보세요. 보통 이 식당에서는 사람들이 작은 정사각형 테이블에 앉아서 각 테이블에 네 명이 앉습니다.

두 테이블을 함께 움직이면 6명을 앉힐 수 있습니다. 3개의 테이블은 8명을 앉힐 수 있고, 이런 식으로 계속됩니다. 식당에는 15개의 테이블만 있고, 당신은 40명의 큰 그룹과 함께 오고 있습니다. 모두를 하나의 큰 연결된 테이블에 앉힐 충분한 테이블이 있을까요?

해설

위의 상황은 공차 f = 2인 산술 수열을 설명합니다: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … 식당에는 15개의 테이블만 있습니다. 따라서 수열의 마지막 항은 a₁₅일 것입니다. 문제를 해결하기 위해, 우리는 a₁₅의 값을 계산하고 그것을 사람 수 – 40과 비교해야 합니다. 산술 수열의 규칙을 사용하면 다음과 같이 얻을 수 있습니다:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

정답

모든 테이블을 함께 움직이면 32개의 좌석만 제공되어, 모든 손님을 하나의 테이블에 앉히기에는 부족합니다.