Kwartielenrekenmachine

De kwartielenrekenmachine is echt handig wanneer je de vijf-getallen-samenvatting voor de Box-and-Whisker diagrammen wilt vinden. Deze statistische rekenmachine berekent het eerste kwartiel (Q1), tweede kwartiel (Q2) of de mediaan, derde kwartiel (Q3), minimale waarde en maximale waarde van de gegeven gegevensset. Verder berekent het ook de interkwartielafstand en de spreiding.

Je hoeft alleen de gegevens in te typen of te kopiëren en op de knop "berekenen" te klikken. Zorg ervoor dat je elk getal scheidt met een komma of een spatie.

Kwartielen

Kwartielen zijn een van de positie-maatregelen. Ze helpen om de positie van een waarde te beschrijven in relatie tot andere waarden in een gegevensset.

Kwartielen worden gebruikt om een oplopende reeks gegevens (gegevens zijn oplopend geordend) in vier gelijke delen te verdelen. Elk van deze delen bevat een gelijk aantal items. We kunnen drie kwartielen berekenen voor een gegevensset.

• Eerste kwartiel (Q1 of het onderste kwartiel)
• Tweede kwartiel (Q2 of de mediaan)
• Derde kwartiel (Q3 of het bovenste kwartiel)

Het eerste kwartiel (Q1) is de gegevenswaarde die de onderste 25% en de bovenste 75% van de gegevens, die oplopend zijn geordend, scheidt. Dus, het eerste kwartiel heeft 25% van de items lager dan het en 75% van de items hoger dan het. Dit is gelijk aan het 25ste percentiel van de gegevensset.

Het tweede kwartiel (Q2) is de gegevenswaarde die de onderste 50% en de bovenste 50% van de gegevens, die oplopend zijn geordend, scheidt. Dus, het tweede kwartiel heeft 50% van de items lager dan het en 50% van de items hoger dan het. Het tweede kwartiel is precies gelijk aan de mediaan en ook aan het 50ste percentiel van de gegevensset.

Het derde kwartiel (Q3) is de gegevenswaarde die de onderste 75% en de bovenste 25% van de gegevens, die oplopend zijn geordend, scheidt. Dus, het derde kwartiel heeft 75% van de items lager dan het en 25% van de items hoger dan het. Dit is gelijk aan het 75ste percentiel van de gegevensset.

Kwartielberekening

Je kunt de volgende stappen volgen om de kwartielen te vinden:

• Rangschik de data in oplopende volgorde.
• Vind de mediaan van de datawaarden. Dit is het tweede kwartiel.
• Vind de mediaan van de datawaarden die onder het tweede kwartiel liggen. Dit is het eerste kwartiel.
• Vind de mediaan van de datawaarden die boven het tweede kwartiel liggen. Dit is het derde kwartiel.

Voorbeeld 1

De volgende dataset vertegenwoordigt het startsalaris van pas afgestudeerde accountants op een hogeschool. Vind de mediaan (Q2), het onderste kwartiel (Q1) en het bovenste kwartiel (Q3) voor de startsalarissen. Interpreteer je resultaten.

€55.000, €60.000, €52.000, €45.000, €74.000, €75.000, €48.000, €58.000, €72.000, €66.000, €45.000, €50.000, €54.000, €65.000, €71.000

Oplossing

Eerst rangschikken we de data in oplopende volgorde.

€45.000, €45.000, €48.000, €50.000, €52.000, €54.000, €55.000, €58.000, €60.000, €65.000, €66.000, €71.000, €72.000, €74.000, €75.000

Vervolgens vinden we de locatie van het tweede kwartiel of de mediaan.

$$Tweede\ kwartiel(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{de}\ item=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{de}\ item=8^{de}\ item=€58.000$$

Vervolgens vinden we de mediaan van de datawaarden onder Q2 om Q1 te vinden.

€45.000, €45.000, €48.000, €50.000, €52.000, €54.000, €55.000

Eerste kwartiel (Q1) = €50.000

Vervolgens vinden we de mediaan van de datawaarden boven Q2 om Q3 te vinden.

€60.000, €65.000, €66.000, €71.000, €72.000, €74.000, €75.000

Derde kwartiel (Q3) = €71.000

Je kunt de bovenstaande kwartielen als volgt interpreteren:

25% van de pas afgestudeerde accountants verdient minder dan €50.000, en 25% verdient meer dan €71.000. 50% van de pas afgestudeerde accountants verdient meer dan €58.000, terwijl de andere 50% minder verdient dan dat.

Je kunt zien dat in het bovenstaande voorbeeld, bij een oneven aantal data, de kwartielen overeenkomen met de originele datawaarden. Echter, bij een even aantal data, komen de kwartielen niet overeen met de initiële waarden. Laten we het bovenstaande voorbeeld aanpassen om dit te leren.

Voorbeeld 2

Stel je voor dat je één salarisgegeven bent vergeten op te nemen in de data van Voorbeeld 1. Het salaris dat je hebt gemist is €95.000. Vind de herziene mediaan (Q2), het onderste kwartiel (Q1) en het bovenste kwartiel (Q3) voor de startsalarissen.

Oplossing

Eerst rangschikken we de data in oplopende volgorde.

€45.000, €45.000, €48.000, €50.000, €52.000, €54.000, €55.000, €58.000, €60.000, €65.000, €66.000, €71.000, €72.000, €74.000, €75.000, €95.000

Vervolgens vinden we de locatie van de kwartielen.

$$Tweede\ kwartiel(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{de}\ item=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{de}\ item=8,5^{de}\ item$$

$$Tweede\ kwartiel(Q2)=\frac{8^{de}\ item+9^{de}\ item}{2}=\frac{€58.000+€60.000}{2}=€59.000$$

Nu verdelen we de dataset bij de mediaan in twee groepen. Vind de mediaan van de datawaarden onder Q2 om Q1 te vinden.

€45.000, €45.000, €48.000, €50.000, €52.000, €54.000, €55.000, €58.000

Eerste kwartiel (Q1)= (€50.000 + €52.000) / 2 = €51.000

Vervolgens vinden we de mediaan van de datawaarden boven Q2 om Q3 te vinden.

€60.000, €65.000, €66.000, €71.000, €72.000, €74.000, €75.000, €95.000

Derde kwartiel (Q3) = (€71.000 + €72.000) / 2 = €71.500

Interkwartielafstand

Het verschil tussen het bovenste kwartiel (Q3) en het onderste kwartiel (Q1) staat bekend als de interkwartielafstand.

• Interkwartielafstand (IQR) = Bovenste kwartiel - Onderste kwartiel
• Interkwartielafstand (IQR) = Derde kwartiel - Eerste kwartiel
• Interkwartielafstand (IQR) = Q3 - Q1

De interkwartielafstand elimineert de laagste 25% van de items en de hoogste 25% van de items van de datareeks. Met andere woorden, de interkwartielafstand richt zich op de spreiding van de middelste 50% van de datareeks. Aangezien de interkwartielafstand de items onder het onderste kwartiel en de items boven het bovenste kwartiel elimineert, is de interkwartielafstand vrij van de extreme waarden of de uitschieters van de dataset. Dit elimineert het belangrijkste nadeel van de berekening van het bereik.

Voorbeeld 3

Vind de interkwartielafstand voor Voorbeeld 1.

Oplossing

We hebben de kwartielen voor het datatijdbereik al gevonden:

• Eerste kwartiel (Q1) = €50.000
• Tweede kwartiel (Q2) = €58.000
• Derde kwartiel (Q3) = €71.000

Laten we de bovenstaande gegevens toepassen op de formule voor interkwartielafstand.

Interkwartielafstand (IQR) = Derde kwartiel (Q3) - Eerste kwartiel (Q1) = €71.000 - €50.000 = €21.000

Voorbeeld 4

Vind de interkwartielafstand voor Voorbeeld 2.

Oplossing

We hebben de kwartielen voor het datatijdbereik al gevonden:

• Eerste kwartiel (Q1) = €51.000
• Tweede kwartiel (Q2) = €59.000
• Derde kwartiel (Q3) = €71.500

Laten we de bovenstaande gegevens toepassen op de formule voor interkwartielafstand.

Interkwartielafstand (IQR) = Derde kwartiel (Q3) - Eerste kwartiel (Q1) = €71.500 - €51.000 = €20.500

Minimum- en maximumwaarden

De minimumwaarde van een dataset betekent de laagste waarde van de dataset. Wanneer je een dataset in oplopende volgorde rangschikt, is het de eerste waarde van je dataset.

De maximumwaarde van een dataset betekent de hoogste waarde van de dataset. Wanneer je een dataset in oplopende volgorde rangschikt, is het de laatste waarde van je dataset.

De minimumwaarde en de maximumwaarde helpen om de totale spreiding van de dataset te begrijpen. Het bereik, dat de basismaat is voor spreiding, is gebaseerd op de minimumwaarde en de maximumwaarde van de dataset.

Voorbeeld 5

Vind de minimum- en maximumwaarden van de dataset van het startloon van pas afgestudeerde accountants van Voorbeeld 1.

Oplossing

We hebben de dataset al in oplopende volgorde gerangschikt als volgt.

€45.000, €45.000, €48.000, €50.000, €52.000, €54.000, €55.000, €58.000, €60.000, €65.000, €66.000, €71.000, €72.000, €74.000, €75.000

Het minimumsalaris is de eerste salarisgegevens in de bovenstaande reeks. Daarom,

Het minimum startloon van pas afgestudeerde accountants = €45.000

Het maximumsalaris is de laatste salarisgegevens in de bovenstaande reeks. Daarom,

Het maximum startloon van pas afgestudeerde accountants = €75.000

Voorbeeld 6

Vind de minimum- en maximumwaarden van de dataset van het startloon van pas afgestudeerde accountants van Voorbeeld 2.

Oplossing

We hebben de dataset al in oplopende volgorde gerangschikt als volgt.

€45.000, €45.000, €48.000, €50.000, €52.000, €54.000, €55.000, €58.000, €60.000, €65.000, €66.000, €71.000, €72.000, €74.000, €75.000, €95.000

Het minimumsalaris is de eerste salarisgegevens in de bovenstaande reeks. Daarom,

Het minimum startloon van pas afgestudeerde accountants = €45.000

Het maximumsalaris is de laatste salarisgegevens in de bovenstaande reeks. Daarom,

Het maximum startloon van pas afgestudeerde accountants = €95.000

Bereik van een set

Het bereik in de statistiek is de meest basale maat voor de spreiding van een dataset. Het wordt berekend als het verschil tussen de grootste (maximum) waarde en de kleinste (minimum) waarde van de dataset.

Het bereik van een set = Maximumwaarde - Minimumwaarde

Het bereik van een set = Grootste waarde - Kleinste waarde

Het bereik is de totale afstand of de totale spreiding tussen de extreme waarden van de dataset. Het is een ruwe maat voor spreiding.

Het bereik is alleen afhankelijk van twee extreme items van de dataset. Als de extreme waarden uitbijters bevatten, wordt het bereik gemakkelijk vervormd en bevooroordeeld.

Omdat het bereik niet gebaseerd is op alle gegevens van de dataset, wordt het bereik niet beschouwd als een goede maat voor spreiding.

Voorbeeld 7

Bereken het bereik van de dataset van het startloon van pas afgestudeerde accountants van Voorbeeld 1.

Oplossing

Eerder hebben we de minimumwaarde en de maximumwaarde van de dataset gevonden.

Het minimum startloon van pas afgestudeerde accountants = €45.000

Het maximum startloon van pas afgestudeerde accountants = €75.000

Nu zullen we de bovenstaande waarden toepassen op de formule voor het bereik.

Het bereik van een set = Maximumwaarde - Minimumwaarde = €75.000 - €45.000 = €30.000

Voorbeeld 8

Bereken het bereik van de dataset van het startloon van pas afgestudeerde accountants van Voorbeeld 2.

Oplossing

Eerder hebben we de minimumwaarde en de maximumwaarde van de dataset gevonden.

Het minimum startloon van pas afgestudeerde accountants = €45.000

Het maximum startloon van pas afgestudeerde accountants = €95.000

Nu zullen we de bovenstaande waarden toepassen op de formule voor het bereik.

Het bereik van een set = Maximumwaarde - Minimumwaarde = €95.000 - €45.000 = €50.000

Toepassingen van Kwartielen in de Praktijk

De berekeningen van kwartielen zijn nuttig wanneer we de extreme waarden van een dataset willen elimineren en de verdeling ervan willen onderzoeken. De onderstaande lijst toont verschillende gebieden waar kwartielen worden gebruikt om beslissingen te nemen.

Human resources - De kwartielen van salarissen worden bepaald voordat de salarisrange van medewerkers in een bedrijf wordt vastgesteld. Dit helpt bij het elimineren van extreem lage salarissen, zoals die van stagiairs, en extreem hoge salarissen die voortkomen uit de ervaring en uitstekende talenten van medewerkers.

Financiën - Bij het plannen van maandelijkse uitgaven worden kwartielen berekend om een idee te krijgen van hoe de uitgaven in het verleden waren verdeeld. Dit helpt om zowel over- als onderbudgettering te vermijden.

Dit helpt bij het verstrekken van gegevens over het bereik van productiecapaciteiten die niet zijn vervormd door stroomuitvallen, stakingen, dagen van materiaaltekorten, enzovoort.

Marketing - Wanneer marketeers de prijsklassen van hun concurrenten analyseren, identificeren ze de kwartielen voor de prijzen van concurrenten. Ze kunnen dan de prijzen van producten van lage kwaliteit en zeer hoogwaardige merkproducten tijdens de analyse weglaten.