Rekenmachine voor Rekenkundige en Meetkundige Reeksen

Deze rekenmachine voor getallenreeksen omvat rekenkundige, meetkundige en Fibonacci of recursieve reeksen. In elk geval vindt de rekenmachine de n-de term van de reeks.

Gebruiksaanwijzing

Rekenkundige reeksrekenmachine

Gebruik de rekenkundige reeksrekenmachine om de n-de term van de rekenkundige reeks te vinden. Voer het eerste getal van de reeks en het gemeenschappelijke verschil (meestal aangeduid als f) in. Voer dan de waarde van n in om het n-de getal van de reeks te verkrijgen. Als je bijvoorbeeld de twintigste term nodig hebt, voer je n = 20 in. De rekenmachine zal de 20e waarde en de som van alle termen tot en met de 20e term retourneren.

Meetkundige reeksrekenmachine

Gebruik de meetkundige reeksrekenmachine om de n-de term van de meetkundige reeks te vinden. Voer het eerste getal van de reeks, de gemeenschappelijke ratio (meestal aangeduid als r), en de waarde van n in. Druk dan op "Berekenen." De rekenmachine zal de waarde van de n-de term van de reeks en de som van alle getallen tot en met de n-de term retourneren.

Fibonacci-reeksrekenmachine

Gebruik de Fibonacci-reeksrekenmachine om de n-de term van de Fibonacci-reeks te vinden. Voer de waarde van n in en druk op "Berekenen." De rekenmachine zal de n-de term van de reeks en de som van alle getallen tot en met de n-de waarde retourneren.

Definities

Wiskundige reeksen

In de wiskunde wordt een getallenreeks gedefinieerd als een lijst van getallen in volgorde. "In volgorde" betekent dat elk getal een vaste positie heeft. Een getallenreeks wordt aangeduid als een lijst van getallen gescheiden door komma's en ingesloten in accolades. Bijvoorbeeld, {1, 3, 5, 7, 9} of {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Elke term van de reeks wordt aangeduid als aₙ, waarbij n – het nummer van die term is. Bijvoorbeeld, in de reeks {1, 3, 5, 7, 9} is a₁ = 1, a₂ = 3, enzovoort. Een getallenreeks heeft meestal een regel waarmee men elke term van die reeks kan vinden. De drie meest gebruikte reeksen zijn rekenkundig, meetkundig en Fibonacci.

Rekenkundige reeks

Het verschil tussen twee opeenvolgende termen is een constante in een rekenkundige reeks. Als we die constante aanduiden als f, krijgen we aₙ₊₁ – aₙ = f, voor elke n. In het algemeen kan elke rekenkundige reeks als volgt worden geschreven:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

De twee belangrijke elementen van elke rekenkundige reeks zijn de eerste term a₁, en de constante f, genaamd het gemeenschappelijke verschil. Met deze twee waarden kunnen we de regel van de rekenkundige reeks opschrijven:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Bijvoorbeeld, laten we de 9e term vinden van een rekenkundige reeks met a₁ = 2 en f = 1,2. We moeten de 9e term vinden. Daarom is n = 9. Met behulp van de regel van de rekenkundige reeks krijgen we meteen het volgende:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Meetkundige reeks

In een meetkundige reeks kan elke term worden gevonden door de vorige term met een niet-nul constante te vermenigvuldigen. Die constante wordt meestal aangeduid als r, de gemeenschappelijke ratio genoemd. In een meetkundige reeks is aₙ₊₁ = aₙ × r. In het algemeen kan elke meetkundige reeks als volgt worden geschreven:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Met de kennis van de eerste term en de gemeenschappelijke ratio, kan de regel van de meetkundige reeks als volgt worden geschreven:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Bijvoorbeeld, laten we de 5e term vinden van de meetkundige reeks met a1 = 6 en r = 2. We moeten de 5e term vinden. Daarom is n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Fibonacci-reeks

De Fibonacci-reeks is de volgende reeks:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

In deze reeks wordt elke term gedefinieerd als de som van de twee voorgaande termen:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

De eerste twee termen van een Fibonacci-reeks worden gewoonlijk gedefinieerd als 0 en 1.

In tegenstelling tot andere reeksen, begint de Fibonacci-reeks met a₀, niet a₁! Dit betekent dat a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, enzovoort.

Gulden snede

De Fibonacci-reeks heeft veel interessante eigenschappen, waarvan de gulden snede eigenschap de meest opmerkelijke is. Deze eigenschap betekent dat de verhouding van twee opeenvolgende getallen (beginnend met a₃ en a₄) uit de Fibonacci-reeks dicht bij de gulden snede ligt, ongeveer geschat op 1,618034, en aangeduid als ϕ. Hoe groter de termen van de reeks, hoe dichter hun verhouding bij de gulden snede ligt. Bijvoorbeeld,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

enzovoort

De gulden snede kan ook worden gebruikt om de termen van de Fibonacci-reeks te vinden met behulp van de volgende formule:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Hoe nauwkeuriger de waarde van de gulden snede die je gebruikt, hoe dichter de berekende waarde van an zal zijn bij de overeenkomstige gehele getallen van de Fibonacci-reeks.

Voorbeeld uit het echte leven

Laten we kijken naar een voorbeeld van het gebruik van een rekenkundige reeks in het echte leven. Stel je voor dat je een feestdiner in een restaurant wilt organiseren. Meestal zitten mensen in dit restaurant aan kleine vierkante tafels, zodat vier mensen aan elke tafel passen.

Als je twee tafels samen schuift, kun je 6 mensen plaatsen. 3 tafels zouden 8 mensen plaatsen, enzovoort. Het restaurant heeft slechts 15 tafels en je komt met een grote groep van 40 mensen. Zullen er genoeg tafels zijn om iedereen aan één grote gezamenlijke tafel te plaatsen?

Oplossing

De bovenstaande situatie beschrijft een rekenkundige reeks met het gemeenschappelijke verschil f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … Het restaurant heeft slechts 15 tafels. Daarom zal de laatste term van de reeks a₁₅ zijn. Om het probleem op te lossen, moeten we de waarde van a₁₅ berekenen en vergelijken met het aantal mensen – 40. Met behulp van de regel van de rekenkundige reeks krijgen we het volgende:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Antwoord

Alle tafels samen schuiven zal slechts 32 zitplaatsen opleveren, wat onvoldoende is om alle gasten aan één tafel te plaatsen.