Kalkulator ciągów arytmetycznych i geometrycznych

Ten kalkulator ciągów liczbowych obejmuje ciągi arytmetyczne, geometryczne i Fibonacci, czyli rekurencyjne. W każdym przypadku kalkulator ciągów znajduje n-ty wyraz ciągu.

Instrukcja użytkowania

Kalkulator ciągu arytmetycznego

Użyj kalkulatora ciągu arytmetycznego, aby znaleźć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wprowadź pierwszy wyraz ciągu oraz wspólną różnicę (zazwyczaj oznaczaną jako f). Następnie wprowadź wartość n, aby uzyskać n-ty wyraz ciągu. Na przykład, jeśli potrzebujesz dwudziestego wyrazu, wprowadź n = 20. Kalkulator zwróci wartość 20-tego wyrazu oraz sumę wszystkich wyrazów do (włącznie) 20-tego wyrazu.

Kalkulator ciągu geometrycznego

Użyj kalkulatora ciągu geometrycznego, aby znaleźć n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Wprowadź pierwszy wyraz ciągu, wspólny iloraz (zazwyczaj oznaczany jako r) oraz wartość n. Następnie naciśnij "Oblicz". Kalkulator zwróci wartość n-tego wyrazu ciągu oraz sumę wszystkich wyrazów do (włącznie) n-tego wyrazu.

Kalkulator ciągu Fibonacciego

Użyj kalkulatora ciągu Fibonacciego, aby znaleźć n-ty wyraz ciągu Fibonacciego. Wprowadź wartość n i naciśnij "Oblicz". Kalkulator zwróci n-ty wyraz ciągu oraz sumę wszystkich wyrazów do (włącznie) n-tej wartości.

Definicje

Ciągi matematyczne

W matematyce ciąg liczbowy definiowany jest jako lista liczb w kolejności. "W kolejności" oznacza, że każda liczba ma ustaloną pozycję. Ciąg liczbowy jest oznaczany jako lista liczb oddzielonych przecinkami i zamkniętych w nawiasach klamrowych. Na przykład {1, 3, 5, 7, 9} lub {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Każdy wyraz ciągu oznaczany jest jako aₙ, gdzie n – to numer tego wyrazu. Na przykład, w ciągu {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1, a₂ = 3, i tak dalej. Ciąg liczbowy zazwyczaj ma regułę pozwalającą znaleźć dowolny wyraz tego ciągu. Trzy najczęściej używane ciągi to arytmetyczny, geometryczny i Fibonacciego.

Ciąg arytmetyczny

Różnica między dowolnymi dwoma sąsiednimi wyrazami jest stała w ciągu arytmetycznym. Jeśli oznaczymy tę stałą jako f, otrzymamy aₙ₊₁ – aₙ = f, dla dowolnego n. Ogólnie rzecz biorąc, dowolny ciąg arytmetyczny można zapisać następująco:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

Dwa ważne elementy dowolnego ciągu arytmetycznego to pierwszy wyraz a₁ oraz stała f, zwana wspólną różnicą. Znając te dwie wartości, możemy zapisać regułę ciągu arytmetycznego:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Na przykład, znajdźmy 9-ty wyraz ciągu arytmetycznego z a₁ = 2 i f = 1.2. Musimy znaleźć 9-ty wyraz, więc n = 9. Korzystając z reguły ciągu arytmetycznego, od razu otrzymujemy:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Ciąg geometryczny

W ciągu geometrycznym każdy wyraz można znaleźć, mnożąc poprzedni wyraz przez niezerową stałą. Tę stałą zwykle oznacza się jako r, nazywaną wspólnym ilorazem. W ciągu geometrycznym aₙ₊₁ = aₙ × r. Ogólnie rzecz biorąc, dowolny ciąg geometryczny można zapisać następująco:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Znając pierwszy wyraz i wspólny iloraz, regułę ciągu geometrycznego można zapisać następująco:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Na przykład, znajdźmy 5-ty wyraz ciągu geometrycznego z a₁ = 6 i r = 2. Musimy znaleźć 5-ty wyraz, więc n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego to następujący ciąg:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

W tym ciągu każdy wyraz jest zdefiniowany jako suma dwóch poprzednich wyrazów:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Pierwsze dwa wyrazy ciągu Fibonacciego są zwykle zdefiniowane jako 0 i 1.

W przeciwieństwie do innych ciągów, ciąg Fibonacciego zaczyna się od a₀, nie a₁! Oznacza to, że a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, i tak dalej.

Złota proporcja

Ciąg Fibonacciego ma wiele interesujących właściwości, z których najbardziej znaną jest właściwość złotej proporcji. Właściwość ta oznacza, że stosunek dowolnych dwóch kolejnych liczb (zacząwszy od a₃ i a₄) z ciągu Fibonacciego jest bliski złotej proporcji, szacowanej przybliżenie jako 1,618034 i oznaczanej jako ϕ. Im większe wyrazy ciągu, tym bliższy ich stosunek jest do złotej proporcji. Na przykład,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

i tak dalej

Złotą proporcję można również wykorzystać do znalezienia wyrazów ciągu Fibonacciego, używając następującego wzoru:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Im dokładniejsza wartość złotej proporcji będzie użyta, tym bliższa obliczona wartość aₙ będzie do odpowiadającej liczby całkowitej ciągu Fibonacciego.

Przykład z życia codziennego

Przyjrzyjmy się przykładowi zastosowania ciągu arytmetycznego w rzeczywistości. Wyobraź sobie, że chcesz zorganizować kolację świąteczną w restauracji. Zazwyczaj w tej restauracji ludzie siedzą przy małych kwadratowych stolikach, przy których mieści się cztery osoby.

Jeśli zestawisz ze sobą dwa stoły, będziesz mógł usadzić 6 osób. 3 stoły pomieszczą 8 osób, i tak dalej. Restauracja ma tylko 15 stolików, a Ty przychodzisz z dużą grupą 40 osób. Czy będzie wystarczająco stolików, aby usadzić wszystkich przy jednym wielkim połączonym stole?

Rozwiązanie

Opisana sytuacja przedstawia ciąg arytmetyczny ze wspólną różnicą f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … Restauracja ma tylko 15 stolików. Dlatego ostatni wyraz ciągu będzie a₁₅. Aby rozwiązać problem, musimy obliczyć wartość a₁₅ i porównać ją z liczbą osób – 40. Korzystając z reguły ciągu arytmetycznego, otrzymamy następujące:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Odpowiedź

Połączenie wszystkich stołów razem da tylko 32 miejsca, co jest niewystarczające, aby usadzić wszystkich gości przy jednym stole.