Kalkulator Pierwiastków Kwadratowych

Ten kalkulator można użyć do znalezienia pierwiastka kwadratowego podanej liczby. Liczby wejściowe mogą być dodatnie lub ujemne, a kalkulator pierwiastka kwadratowego zidentyfikuje główny pierwiastek kwadratowy liczby oraz przeciwny pierwiastek.

Instrukcje użytkowania

Aby użyć kalkulatora pierwiastków kwadratowych, wprowadź daną liczbę i naciśnij „Oblicz”. Kalkulator zwróci główny pierwiastek kwadratowy liczby oraz przeciwny (ujemny) pierwiastek kwadratowy. Wskazuje również, czy wprowadzona liczba jest kwadratem doskonałym.

Kwadraty i pierwiastki kwadratowe

Kwadraty

Kwadrat danej liczby to liczba pomnożona przez siebie. Na przykład, 3 × 3 = 9, co oznacza, że kwadrat liczby 3 to 9, czyli trzy do kwadratu to 9. Kwadrat liczby zazwyczaj zapisuje się następująco: x². Więc, jeśli x = 3, poprzednie równanie można zapisać jako 3² = 9. Poniżej przedstawiono przykłady kwadratów różnych liczb:

Spójrz na liczby ujemne i znajdź (-3)². (-3)² = (-3) × (-3) = 9, ponieważ mnożenie dwóch znaków ujemnych daje znak dodatni. Dlatego (-3)² = 3² = 9.

Kwadraty doskonałe

Kwadrat doskonały to kwadrat liczby całkowitej; na przykład 4, 9, 16 i 25 to wszystko kwadraty doskonałe. Poniżej znajdują się kwadraty doskonałe pierwszych liczb całkowitych. Przydatne jest ich zapamiętanie.

W konsekwencji, jeśli pierwiastek kwadratowy liczby jest liczbą całkowitą, ta liczba jest kwadratem doskonałym. Kalkulator na tej stronie wskaże, czy wprowadzona liczba jest kwadratem doskonałym.

Pierwiastki kwadratowe

Pierwiastek kwadratowy liczby to wartość, która, pomnożona przez siebie, daje liczbę oryginalną. Na przykład pierwiastkami kwadratowymi liczby 9 są 3 i -3, ponieważ 3 × 3 = 9, a (-3) × (-3) = 9, więc (-3)² = 3² = 9. Podobnie pierwiastkami kwadratowymi liczby 16 są 4 i -4, i tak dalej. Każda liczba (poza 0) ma dwa pierwiastki kwadratowe – dodatni i ujemny.

Dodatni pierwiastek kwadratowy liczby nazywany jest głównym pierwiastkiem kwadratowym; gdy nie jest określone, który pierwiastek kwadratowy ma być obliczony, zazwyczaj domyśla się głównego pierwiastka. Na przykład, w pytaniu „Jaki jest pierwiastek kwadratowy liczby 36?”, proszeni jesteśmy tylko o znalezienie JEDNEGO pierwiastka kwadratowego, więc bierzemy pod uwagę tylko główny pierwiastek, a odpowiedź brzmi „6”.

Symbol pierwiastka kwadratowego

Symbol pierwiastka kwadratowego nazywany jest radikałem i przedstawiany jest w następujący sposób: √. Dlatego, aby zapisać matematycznie pierwiastek kwadratowy z 16, napiszemy √16.

Zgodnie z rygorystyczną definicją matematyczną, dla każdej funkcji f(x, y) musi istnieć unikalna wartość y dla każdej wartości x. Wyobraźmy sobie, że mamy funkcję, w której y równa się pierwiastkowi kwadratowemu z x. Wtedy dla każdej wartości x byłoby dwie wartości y – dodatni pierwiastek kwadratowy i ujemny pierwiastek kwadratowy. To sprzeciwia się matematycznej definicji funkcji! Aby obejść ten problem, matematycy przypisali symbol radikału √ wyłącznie do głównego pierwiastka.

Oznacza to, że podczas gdy pierwiastki kwadratowe z 16 to 4 i -4, matematycznie √16 = 4. Należy to wziąć pod uwagę podczas rozwiązywania równań matematycznych. Każde równanie typu y² = x ma dwa rozwiązania, zapisywane jako y = √x i y = -√x, lub y = ±√x.

Pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych

W powyższej sekcji pokazaliśmy, że kwadrat każdej rzeczywistej liczby jest zawsze dodatni. Jeśli liczba jest dodatnia, jej kwadrat również jest dodatni. A jeśli liczba jest ujemna, jej kwadrat wciąż jest dodatni, ponieważ mnożenie dwóch znaków ujemnych daje znak dodatni.

Wyobraźmy sobie teraz, że istnieje liczba, która daje ujemny wynik po podniesieniu do kwadratu. Liczby, które dają ujemne wyniki po podniesieniu do kwadratu, nazywane są liczbami urojonymi. Podstawową liczbą urojoną jest i, zdefiniowana jako:

i² = -1

lub

i = √(-1)

Spróbujmy znaleźć pierwiastki kwadratowe z (-4):

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) = 2 × i = 2i

Głównym pierwiastkiem kwadratowym z (-4) jest 2i. A jeśli weźmiemy pod uwagę przeciwny pierwiastek kwadratowy z 4 (-√4 = -2) w powyższym równaniu, otrzymamy również przeciwne rozwiązanie: -2i.

Jak znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby

Obliczanie pierwiastków kwadratowych z kwadratów doskonałych jest stosunkowo łatwe. Ale obliczanie pierwiastków kwadratowych z liczb dziesiętnych, lub liczb całkowitych, które nie są kwadratami doskonałymi, może być trudne. Kilka sposobów obliczania pierwiastków kwadratowych, w tym metoda obliczeniowa pozwalająca znaleźć dokładny pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby, są wyjaśnione na tej stronie.

Zastosowanie w życiu codziennym

John planuje wynająć kawalerkę. Znalazł ogłoszenie o kawalerce o powierzchni 20,25 metrów kwadratowych. Jak może oszacować długość ścian studia, aby lepiej zobrazować rozmiar miejsca?

Rozwiązanie

W nieruchomościach rozmiary mieszkań, domów i powierzchni gruntów zwykle podawane są w metrach kwadratowych. Jednocześnie niektóre oferty zawier

ają odpowiadające im długości, ale wiele nie. Trudno jest zobrazować rozmiar przestrzeni, biorąc pod uwagę metry kwadratowe powierzchni. Ale jeśli wyobrażamy sobie całkowitą powierzchnię jako kwadrat o pewnej długości boku, lepiej zrozumiemy, jak duże jest to miejsce. Aby to zrobić, musimy wydobyć pierwiastek kwadratowy z całkowitej powierzchni:

√20,25 = 4,5

Należy zauważyć, że mówimy o fizycznym rozmiarze mieszkania. Dlatego będziemy potrzebować tylko głównego pierwiastka kwadratowego.

Ciekawe jest również to, że wydobywanie pierwiastków kwadratowych działa z wymiarami! Ten przykład mierzył całkowitą powierzchnię w metrach kwadratowych (m²). Gdy znajdujemy długość ściany, technicznie bierzemy pierwiastek kwadratowy z 20,25 m²:

√(20,25 m²) = √20,25 √(m²) = 4,5 m

Odpowiedź

Kawalerka o powierzchni 20,25 metrów kwadratowych może być wyobrażona jako kwadratowy pokój, w którym każda ściana ma 4,5 metra długości.