Калькулятор квадратного корня

Этот калькулятор можно использовать для нахождения квадратного корня из введенного числа. Вводимые числа могут быть положительными или отрицательными, и калькулятор корней определит главный квадратный корень из числа, а также обратный корень.

Способ применения

Чтобы воспользоваться калькулятором квадратного корня, введите заданное число и нажмите "Вычислить". Калькулятор вернет главный квадратный корень из числа, а также противоположный (отрицательный) квадратный корень. Он также укажет, является ли введенное число совершенным квадратом.

Чтобы очистить поле ввода, нажмите "Очистить".

Квадраты и квадратные корни

Квадраты

Квадрат данного числа - это число, умноженное на само себя. Например, 3 × 3 = 9, что означает, что квадрат числа 3 равен 9, или три в квадрате равно 9. Квадрат числа обычно записывается следующим образом: x². Так, если x = 3, то предыдущее уравнение можно записать как 3² = 9. Ниже приведены примеры квадратов различных чисел:

Рассмотрим отрицательные числа и найдем (-3)². (-3)² = (-3) × (-3) = 9, так как при умножении двух отрицательных чисел получается положительный знак. Следовательно, (-3)² = 3² = 9.

Совершенные квадраты

Совершенный квадрат - это квадрат целого числа; например, 4, 9, 16, 25 - все они являются совершенными квадратами. Ниже приведены совершенные квадраты первых целых чисел. Их полезно запомнить.

Следовательно, если квадратный корень из числа - целое число, то это число является совершенным квадратом. Калькулятор на этой странице покажет, является ли введенное вами число совершенным квадратом.

Квадратные корни

Квадратный корень из числа - это значение, которое при умножении на себя дает исходное число. Например, квадратными корнями из 9 являются 3 и -3, так как 3 × 3 = 9, а (-3) × (-3) = 9, следовательно, (-3)² = 3² = 9. Аналогично, квадратные корни из 16 равны 4 и -4, и так далее. Каждое число (за исключением 0) имеет два квадратных корня - положительный квадратный корень и отрицательный квадратный корень.

Положительный квадратный корень из числа называется главным квадратным корнем; когда не указано, какой квадратный корень нужно вычислить, обычно подразумевается главный корень. Например, в вопросе "Чему равен квадратный корень из 36?" нас просят найти только ОДИН квадратный корень, поэтому мы учитываем только главный корень, и ответ будет "6".

Символ квадратного корня

Символ квадратного корня называется радикалом и изображается следующим образом: √. Таким образом, чтобы записать квадратный корень из 16 математически, мы напишем: √16.

Согласно строгому математическому определению, для любой функции f(x, y) должно существовать единственное значение y для каждого значения x. Представьте, что у нас есть функция, где y равен квадратному корню из x. Тогда для каждого значения x будет два значения y - положительный квадратный корень и отрицательный квадратный корень. Это противоречит математическому определению функции! Чтобы обойти эту проблему, математики присвоили символ радикала √ только главному корню.

Это означает, что, хотя квадратные корни из 16 равны 4 и -4, математически √16 = 4. Это необходимо учитывать при решении математических уравнений. Любое уравнение вида y² = x имеет два решения, которые записываются как y = √x и y = -√x, или y = ±√x.

Квадратные корни из отрицательных чисел

В приведенном выше разделе мы показали, что квадрат любого действительного числа всегда положителен. Если число положительное, то его квадрат также положителен. А если число отрицательное, то его квадрат все равно положительный, так как при умножении двух отрицательных знаков получается положительный знак.

Теперь представим, что существует число, которое при возведении в квадрат дает отрицательный результат. Числа, которые дают отрицательный результат при возведении в квадрат, называются мнимыми числами. Основным мнимым числом является i, которое определяется как:

i² = -1

или

i = √(-1)

Попробуем найти квадратный корень из (-4):

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) =2 × i = 2i

Главный квадратный корень из (-4) равен 2i. И если мы учтем в вышеприведенном уравнении противоположный квадратный корень из 4 (-√4 = -2), то получим также противоположное решение: -2i.

Как найти квадратный корень из числа

Вычисление квадратных корней из совершенных квадратов относительно просто. Но вычисление квадратных корней десятичных или целых чисел, которые не являются совершенными квадратами, может оказаться сложной задачей. На этой странице описаны несколько способов вычисления квадратных корней, в том числе метод вычисления, позволяющий найти точный квадратный корень из любого числа.

Применение в реальной жизни

Джон планирует снять однокомнатную квартиру. Он нашел объявление о продаже студии площадью 20,25 квадратных метров. Как он может оценить длину стен студии, чтобы лучше представить себе ее размеры?

Решение

В сфере недвижимости размеры квартир, домов и земельных участков обычно указываются в квадратных метрах. Хотя в некоторых объявлениях указана соответствующая длина, многие из них этого не делают. Бывает трудно представить, насколько велико помещение, думая о площади в квадратных метрах. Но если нам удастся представить общую площадь в виде квадрата со стороной определенной длины, мы будем иметь гораздо лучшее представление о том, насколько велико помещение на самом деле. Для этого нужно просто извлечь квадратный корень из общей площади:

√20,25 = 4,5

Обратите внимание, что мы говорим о физическом размере квартиры, поэтому нам понадобится только главный квадратный корень.

Интересно также отметить, что извлечение квадратных корней работает и с размерами! В данном примере общая площадь была измерена в квадратных метрах (м²). Когда мы находим длину стены, мы технически извлекаем квадратный корень из 20,25 м²:

√(20,25 м²) = √20,25 √(м²) = 4,5 м.

Ответ

Студию площадью 20,25 кв. м можно представить как квадратную комнату с длиной каждой стены 4,5 м.