เครื่องคำนวณลำดับคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

เครื่องคำนวณลำดับตัวเลขนี้ประกอบด้วยเครื่องคำนวณคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และฟิโบนาชี หรือเครื่องคำนวณลำดับ ในแต่ละกรณี เครื่องคำนวณลำดับจะพบค่าที่ N ของลำดับ

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

เครื่องคำนวณลำดับคณิตศาสตร์

ใช้เครื่องคำนวณลำดับคณิตศาสตร์เพื่อค้นหาคำที่ N ของลำดับเลขคณิตศาสตร์ ป้อนหมายเลขแรกของลำดับและความแตกต่างทั่วไป (โดยปกติจะแสดงเป็น f)จากนั้นป้อนค่าของ n เพื่อรับหมายเลขที่ N ของลำดับ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการค่าที่ยี่สิบ ให้ป้อน n = 20 เครื่องคำนวณจะส่งคืนค่าที่ 20 และผลรวมของคำศัพท์ทั้งหมดจนถึง (และรวมถึง) ค่าที่ 20

เครื่องคำนวณลำดับเรขาคณิต

ใช้เครื่องคำนวณลำดับเรขาคณิตเพื่อค้นหาค่าที่ N ของลำดับเรขาคณิต ป้อนหมายเลขแรกของลำดับ อัตราส่วนทั่วไป (โดยปกติจะแสดงเป็น r) และค่าของ n จากนั้นกด "คำนวณ" เครื่องคำนวณจะส่งคืนค่าของค่าที่ N ของลำดับและผลรวมของจำนวนทั้งหมดจนถึง (และรวมถึง) ค่าที่ N

เครื่องคำนวณลำดับฟิโบนาชี

ใช้เครื่องคำนวณลำดับฟิโบนาชีเพื่อค้นหาค่าที่ N ของลำดับฟิโบนาชี ป้อนค่าของ n และกด "คำนวณ" เครื่องคำนวณจะส่งกลับค่าที่ N ของลำดับและผลรวมของตัวเลขทั้งหมดจนถึง (และรวมถึง) ค่าที่ N

คำจำกัดความ

ลำดับคณิตศาสตร์

ในคณิตศาสตร์ ลำดับตัวเลขถูกกำหนดเป็นรายการตัวเลขตามลำดับ "ตามลำดับ" หมายความว่าแต่ละหมายเลขมีตำแหน่งคงที่ ลำดับตัวเลขหมายเป็นรายการตัวเลขที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคและรวมอยู่ในวงเล็บหยิก ตัวอย่างเช่น {1, 3, 5, 7, 9} หรือ {0, 1, 0, 1, 0, 1,...}

แต่ละคำลำดับจะแสดงเป็น aₙ โดยที่ n คือจำนวนของค่านั้น ตัวอย่างเช่น ในลำดับ {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1 a₂ = 3 และอื่น ๆ ลำดับตัวเลขมักจะมีกฎที่อนุญาตให้ค้นหาค่าใดก็ได้ของลำดับนั้น ลำดับที่ใช้บ่อยที่สุดสามลำดับ ได้แก่ คณิตศาสตร์ เรขาคณิต และฟิโบนาชี

ลำดับคณิตศาสตร์

ความแตกต่างระหว่างสองค่าที่อยู่ใกล้เคียงคือค่าคงที่ในลำดับคณิตศาสตร์ หากเราแสดงค่าคงที่นั้นเป็น f เราจะได้รับ aₙ₊₁ – aₙ = f สำหรับ n ใด ๆ โดยทั่วไป ลำดับคณิตศาสตร์ใดก็ได้สามารถเขียนได้ดังนี้:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

องค์ประกอบสำคัญสองประการของลำดับคณิตศาสตร์ใด ๆ คือคำแรก a₁ และค่าคงที่ f เรียกว่าความแตกต่างทั่วไป เมื่อทราบค่าทั้งสองนี้ เราสามารถเขียนกฎของลำดับคณิตศาสตร์ได้:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าที่ 9 ของลำดับคณิตศาสตร์ที่มี a₁ = 2 และ f = 1.2 เราต้องหาค่าที่ 9 ดังนั้น n = 9 การใช้กฎลำดับคณิตศาสตร์ เราจะได้รับสิ่งต่อไปนี้ทันที:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

ลำดับทางเรขาคณิต

ในลำดับทางเรขาคณิต แต่ละค่าสามารถพบได้โดยการคูณค่าก่อนหน้าด้วยค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าคงที่นั้นมักจะแสดงเป็น r เรียกว่าอัตราส่วนทั่วไป ในลำดับทางเรขาคณิต aₙ₊₁ = aₙ × r โดยทั่วไป ลำดับทางเรขาคณิตใด ๆ สามารถเขียนได้ดังนี้:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

เมื่อรู้ค่าแรกและอัตราส่วนทั่วไป กฎของลำดับเรขาคณิตสามารถเขียนได้ดังนี้:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าที่ 5 ของลำดับเรขาคณิตด้วย a1 = 6 และ r = 2 เราต้องหาค่าที่ 5 ดังนั้น n = 5

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

ลำดับฟิโบนาชี

ลำดับฟิโบนาชีเป็นลำดับต่อไปนี้:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

ในลำดับนี้ แต่ละค่าจะถูกกำหนดเป็นผลรวมของสองคำก่อนหน้า:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

ค่าสองค่าแรกของลำดับฟิโบนาชีมักถูกกำหนดเป็น 0 และ 1

ซึ่งแตกต่างจากลำดับอื่น ลำดับฟิโบนาชีเริ่มต้นด้วย a₀ ไม่ใช่ a₁! ซึ่งหมายความว่า a₀ = 0 a₁ = 1 a₂ = 1 a₃ = 2 และอื่น ๆ

อัตราส่วนทองคำ

ลำดับฟิโบนาชีมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย โดยที่โดดเด่นที่สุดคือคุณสมบัติอัตราส่วนทองคำ คุณสมบัตินี้หมายความว่าอัตราส่วนของตัวเลขติดต่อกันสองตัวใด ๆ (เริ่มต้นด้วย a₃ และ a₄) จากลำดับฟิโบนาชีใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำ โดยประมาณประมาณ 1.618034 และแสดงเป็น φ ยิ่งเงื่อนไขของลำดับมากเท่าไหร่ อัตราส่วนของพวกเขาจะใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำเท่านั้น ตัวอย่างเช่น

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

และอื่น ๆ

อัตราส่วนทองคำยังสามารถใช้เพื่อค้นหาค่าของลำดับฟิโบนาชีได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

ยิ่งค่าของอัตราส่วนทองคำที่คุณจะใช้แม่นยำมากเท่าไหร่ ค่าที่คำนวณของ an จะใกล้เคียงกับจำนวนเต็มที่สอดคล้องกันของลำดับฟิโบนาชี

ตัวอย่างชีวิตจริง

ลองดูตัวอย่างการใช้ลำดับเลขคณิตศาสตร์ในชีวิตจริง ลองนึกภาพว่าคุณต้องการจัดอาหารค่ำวันหยุดที่ร้านอาหาร โดยปกติแล้ว ในร้านนี้ ผู้คนนั่งที่โต๊ะสี่เหลี่ยมขนาดเล็กเพื่อให้สี่คนพอดีกับแต่ละโต๊ะ

หากคุณย้ายโต๊ะสองโต๊ะเข้าด้วยกัน คุณสามารถนั่งได้ 6 คน โต๊ะ 3 โต๊ะจะนั่งได้ 8 คน และอื่น ๆ ร้านอาหารมีโต๊ะเพียง 15 โต๊ะ และคุณจะมาพร้อมกับกลุ่มใหญ่ 40 คน จะมีโต๊ะเพียงพอที่จะนั่งทุกคนที่โต๊ะรวมขนาดใหญ่หนึ่งโต๊ะหรือไม่?

วิธีแก้

สถานการณ์ข้างต้นอธิบายลำดับคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่างทั่วไป f = 2: a₁ = 4 a₂ = 6 a₃ = 8... ร้านอาหารมีโต๊ะเพียง 15 โต๊ะ ดังนั้น ค่าสุดท้ายของลำดับจะเป็น a₁₅ ในการแก้ปัญหา เราต้องคำนวณค่าของ a₁₅ และเปรียบเทียบกับจำนวนคน 40 คน การใช้กฎลำดับคณิตศาสตร์ เราจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

คำตอบ

การย้ายโต๊ะทั้งหมดเข้าด้วยกันจะทำให้คุณมีที่นั่งเพียง 32 ที่นั่ง ซึ่งไม่เพียงพอสำหรับแขกทุกคนไว้ที่โต๊ะเดียว