Aritmetik ve Geometrik Dizi Hesaplayıcı

Bu sayı dizisi hesaplayıcı, aritmetik, geometrik ve Fibonacci veya özyinelemeli dizi hesaplayıcısını içerir. Her durumda, dizi hesaplayıcı dizinin n'inci terimini bulur.

Kullanım Talimatları

Aritmetik dizi hesaplayıcı

Aritmetik dizi hesaplayıcısını kullanarak aritmetik dizinin n'inci terimini bulun. Dizinin ilk sayısını ve ortak farkı (genellikle f olarak gösterilir) girin. Ardından, dizinin n'inci sayısını elde etmek için n'nin değerini girin. Örneğin, yirminci terimi bulmanız gerekiyorsa, n = 20 girin. Hesaplayıcı, 20'inci değeri ve (dahil olmak üzere) 20'inci terime kadar olan tüm terimlerin toplamını döndürecektir.

Geometrik dizi hesaplayıcı

Geometrik dizi hesaplayıcısını kullanarak geometrik dizinin n'inci terimini bulun. Dizinin ilk sayısını, ortak oranı (genellikle r olarak gösterilir) ve n'nin değerini girin. Ardından "Hesapla" butonuna basın. Hesaplayıcı, dizinin n'inci teriminin değerini ve (dahil olmak üzere) n'inci terime kadar olan tüm sayıların toplamını döndürecektir.

Fibonacci Dizisi Hesaplayıcı

Fibonacci dizisi hesaplayıcısını kullanarak Fibonacci dizisinin n'inci terimini bulun. N'nin değerini girin ve "Hesapla" butonuna basın. Hesaplayıcı, dizinin n'inci terimini ve (dahil olmak üzere) n'inci değere kadar olan tüm sayıların toplamını döndürecektir.

Tanımlar

Matematiksel diziler

Matematikte, sayı dizisi sıralı sayıların bir listesi olarak tanımlanır. "Sıralı" olmak, her sayının sabit bir konuma sahip olduğu anlamına gelir. Bir sayı dizisi, virgülle ayrılmış sayıların süslü parantez içinde listelendiği şekilde gösterilir. Örneğin, {1, 3, 5, 7, 9} veya {0, 1, 0, 1, 0, 1, …} gibi.

Her dizi terimi, n'nin o terimin numarası olduğu aₙ olarak gösterilir. Örneğin, {1, 3, 5, 7, 9} dizisinde a₁ = 1, a₂ = 3 ve devamı. Bir sayı dizisinin genellikle, o dizinin herhangi bir terimini bulmayı sağlayan bir kuralı vardır. En yaygın kullanılan üç dizi aritmetik, geometrik ve Fibonacci'dir.

Aritmetik dizi

Aritmetik bir dizide, her iki bitişik terim arasındaki fark sabittir. Bu sabiti f olarak gösterirsek, herhangi bir n için aₙ₊₁ – aₙ = f elde ederiz. Genel olarak, herhangi bir aritmetik dizi şu şekilde yazılabilir:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

Herhangi bir aritmetik dizinin iki önemli unsuru ilk terim a₁ ve ortak fark olarak adlandırılan sabit f'dir. Bu iki değeri bildiğimizde, aritmetik dizinin kuralını şu şekilde yazabiliriz:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Örneğin, a₁ = 2 ve f = 1,2 olan bir aritmetik dizinin 9'uncu terimini bulalım. 9'uncu terimi bulmamız gerekiyor. Bu nedenle, n = 9. Aritmetik dizi kuralını kullanarak hemen şu sonucu elde ederiz:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Geometrik Dizi

Geometrik bir dizide, her terim önceki terimi sıfır olmayan bir sabitle çarparak bulunabilir. Bu sabit genellikle r olarak gösterilir ve ortak oran olarak adlandırılır. Geometrik bir dizide, aₙ₊₁ = aₙ × r. Genel olarak, herhangi bir geometrik dizi şu şekilde yazılabilir:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

İlk terim ve ortak oranı bilerek, geometrik dizinin kuralı şu şekilde yazılabilir:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Örneğin, a1 = 6 ve r = 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimini bulalım. 5. terimi bulmamız gerekiyor. Bu nedenle, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Fibonacci Dizisi

Fibonacci dizisi aşağıdaki dizidir:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

Bu dizide, her terim iki önceki terimin toplamı olarak tanımlanır:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Bir Fibonacci dizisinin ilk iki terimi genellikle 0 ve 1 olarak tanımlanır.

Diğer dizilerin aksine, Fibonacci dizisi a₀ ile başlar, a₁ ile değil! Bu, a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2 ve devamı olduğu anlamına gelir.

Altın Oran

Fibonacci dizisinin birçok ilginç özelliği vardır, en dikkate değer olanı altın oran özelliğidir. Bu özellik, Fibonacci dizisinden her iki ardışık sayının oranının (a₃ ve a₄ ile başlayarak) altın orana yakın olduğunu, yaklaşık olarak 1,618034 olarak tahmin edilen ve φ olarak gösterilen altın orana yakın olduğunu ifade eder. Dizinin terimleri ne kadar büyükse, oranları altın orana o kadar yakındır. Örneğin,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

ve böyle devam eder

Altın oran, aşağıdaki formülü kullanarak Fibonacci dizisinin terimlerini bulmak için de kullanılabilir:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Altın oranın daha doğru değerini kullanırsanız, hesaplanan an değeri Fibonacci dizisinin karşılık gelen tam sayısına o kadar yakın olacaktır.

Gerçek Hayat Örneği

Gerçek hayatta bir aritmetik dizi kullanımına bir örnek verelim. Bir restoranda tatil yemeği düzenlemek istediğinizi hayal edin. Genellikle bu restoranda, her birinde dört kişinin sığabileceği küçük kare masalar vardır.

İki masayı bir araya getirdiğinizde 6 kişi oturabilir. 3 masa 8 kişilik yer sağlar ve böyle devam eder. Restoranda sadece 15 masa var ve siz 40 kişilik büyük bir grupla geliyorsunuz. Herkesi bir büyük birleşik masada oturtmak için yeterli masa var mı?

Çözüm

Yukarıdaki durum, ortak farkı f = 2 olan bir aritmetik dizi olarak tanımlanır: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … Restoranda sadece 15 masa var. Bu nedenle, dizinin son terimi a₁₅ olacaktır. Sorunu çözmek için a₁₅ değerini hesaplamamız ve bu sayıyı 40 kişilik insan sayısıyla karşılaştırmamız gerekiyor. Aritmetik dizi kuralını kullanarak şu sonucu elde ederiz:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Cevap

Tüm masaları bir araya getirmek sadece 32 koltuk sağlayacak, bu da tüm misafirleri bir masada oturtmak için yetersiz.