Công cụ máy tính dãy số số học và dãy số hình học

Công cụ máy tính dãy số này bao gồm máy tính dãy số số học (cấp số cộng), dãy số hình học (cấp số nhân) và dãy số Fibonacci hoặc đệ quy. Trong mỗi trường hợp, máy tính dãy số này sẽ tìm số hạng thứ n của dãy.

Cách sử dụng

Máy tính dãy số số học (cấp số cộng)

Bạn có thể sử dụng máy tính dãy số số học để tìm số hạng thứ nᵗʰ của dãy số. Nhập số đầu tiên của dãy số và sai phân chung (thường được ký hiệu là f). Sau đó nhập giá trị của n để được số nᵗʰ của dãy. Ví dụ: nếu bạn cần số hạng thứ hai mươi, hãy nhập n = 20. Máy tính sẽ trả về giá trị 20ᵗʰ và tổng của tất cả các số hạng trước đó (và bao gồm số hạng 20ᵗʰ).

Công cụ máy tính dãy số hình học (cấp số nhân)

Bạn có thể sử dụng bộ máy tính dãy số hình học để tìm số thứ n của dãy số hình học. Nhập số đầu tiên của dãy số, tỷ lệ chung (thường được ký hiệu là r), và giá trị của n. Sau đó nhấn "Tính toán" (Calculate). Máy tính sẽ trả về giá trị của số thứ n trong dãy số và tổng của tất cả các số trước và bao gồm số thứ n.

Công cụ máy tính dãy Fibonacci

Bạn có thể sử dụng bộ máy tính dãy Fibonacci để tìm số thứ n của dãy Fibonacci. Nhập giá trị của n và nhấn "Tính toán" (Calculate). Bộ máy tính sẽ trả về số thứ n trong dãy số và tổng của tất cả các số trước và bao gồm số thứ n.

Các định nghĩa

Dãy số toán học

Trong toán học, một dãy số được xác định là một danh sách các số theo thứ tự. "Theo thứ tự" có nghĩa là mỗi số có một vị trí cố định. Một dãy số được ký hiệu là một danh sách các số được phân tách bằng dấu phẩy và đặt trong dấu ngoặc nhọn. Ví dụ, {1, 3, 5, 7, 9} hoặc {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Mỗi phần tử trong dãy số được ký hiệu là aₙ, trong đó n là số thứ tự của phần tử đó. Ví dụ, trong dãy {1, 3, 5, 7, 9}, a₁ = 1, a₂ = 3, và cứ như vậy. Một dãy số thường có một quy tắc cho phép chúng ta tìm ra bất kỳ phần tử nào của dãy số đó. Ba dãy số phổ biến nhất được sử dụng là dãy số số học, dãy số hình học và dãy số Fibonacci.

Dãy số số học (cấp số cộng)

Sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ là một hằng số trong dãy số số học. Nếu chúng ta biểu thị hằng số đó là f, chúng ta sẽ nhận được aₙ₊₁ – aₙ = f, với mọi n. Nói chung, bất kỳ dãy số số học nào cũng có thể được viết như sau:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

Hai yếu tố quan trọng của bất kỳ dãy số số học nào là số hạng đầu tiên a₁ và hằng số f được gọi là hiệu chung. Khi biết hai giá trị này, chúng ta có thể viết ra quy tắc của dãy số số học đó:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Ví dụ: hãy tìm số hạng thứ 9ᵗʰ của dãy số học có a₁ = 2 và f = 1,2. Chúng ta cần tìm số hạng 9ᵗʰ. Do đó, n = 9. Sử dụng quy tắc dãy số học, ta thu được ngay kết quả sau:

a₉ = 2 + 1,2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Dãy số hình học (cấp số nhân)

Trong một dãy hình học, mỗi phần tử có thể được tìm thấy bằng cách nhân số hạng trước đó với một hằng số khác 0. Hằng số đó thường được ký hiệu là r, gọi là tỷ số chung. Trong một dãy số hình học, aₙ₊₁ = aₙ × r. Vì vậy, bất kỳ dãy số hình học nào cũng có thể được viết như sau:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Biết số hạng thứ nhất và tỉ số chung, quy luật dãy số hình học có thể được viết như sau:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Ví dụ: chúng ta hãy tìm số hạng thứ 5 của dãy số hình học với a1 = 6 và r = 2. Chúng ta cần tìm số hạng thứ 5. Do đó, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci là dãy sau:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

Trong dãy số này, mỗi phần tử được xác định bằng tổng của hai phần tử trước đó:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Hai số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci thường là 0 và 1.

Không giống như các dãy số khác, dãy Fibonacci bắt đầu bằng a₀, không phải a₁! Điều này có nghĩa là a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, v.v.

Tỉ lệ vàng

Dãy số Fibonacci có nhiều đặc điểm thú vị, trong đó đáng chú ý nhất là tỷ lệ vàng. Tức là tỷ lệ của hai số liên tiếp bất kỳ (bắt đầu từ a₃ và a₄) trong dãy Fibonacci gần với tỷ lệ vàng, ước tính xấp xỉ là 1,618034 và được ký hiệu là ϕ. Các phần tử của dãy càng lớn thì tỉ số của chúng càng gần với tỉ lệ vàng. Ví dụ,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

và như thế

Tỷ lệ vàng cũng có thể được sử dụng để tìm các phần tử của dãy Fibonacci bằng cách sử dụng công thức sau:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Giá trị tỷ lệ vàng bạn sử dụng càng chính xác thì giá trị tính toán của số hạng sẽ càng gần với số nguyên tương ứng của dãy Fibonacci.

Ví dụ thực tế

Hãy cùng xem một ví dụ về việc sử dụng dãy số số học (cấp số cộng) trong đời sống thực. Hãy tưởng tượng bạn muốn tổ chức một bữa tối nhận một dịp lễ tại một nhà hàng. Thông thường, ở nhà hàng này, mọi người ngồi ở những chiếc bàn vuông nhỏ, mỗi bàn có bốn người.

Nếu bạn di chuyển hai bàn lại gần nhau, bạn có thể ngồi được 6 người. 3 bàn sẽ có chỗ cho 8 người, v.v. Nhà hàng chỉ có 15 bàn và bạn đến với một nhóm lớn khoảng 40 người. Liệu có đủ bàn để mọi người ngồi vào một bàn lớn chung không?

Lời giải

Tình huống trên mô tả một dãy số có sai phân chung f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8,… Nhà hàng chỉ có 15 bàn. Do đó, số hạng cuối cùng của dãy sẽ là a₁₅. Để giải bài toán, chúng ta cần tính giá trị của a₁₅ và so sánh nó với số người là 40. Sử dụng quy tắc dãy số số học, chúng ta sẽ nhận được như sau:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Đáp án

Di chuyển tất cả các bàn lại với nhau sẽ chỉ đủ cho 32 chỗ ngồi, vì vậy không đủ để xếp tất cả 40 khách hàng vào chung một bàn lớn.