四分位数计算器

四分位数计算器在进行箱须图五数概括时非常有用。此统计计算器可计算给定数据集的第一四分位数 (Q1)、第二四分位数 (Q2) 或中位数、第三四分位数 (Q3)、最小值和最大值。此外，它还能计算四分位间距和极差。

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四分位数

四分位数是衡量位置的指标之一。它们有助于描述某个值相对于数据集其他值的位置。

四分法用于将递增的数据数组（数据按升序排列）分成四个相等的部分。每个部分包含相同的项数。我们可以计算一个数据集的三个四分位数。

• 第一四分位数（Q1 或下四分位数）
• 第二四分位数（Q2 或中位数）
• 第三四分位数（Q3 或上四分位数）

第一四分位数（Q1）是将按升序排列的最低 25% 和最高 75% 的数据分开的数值。因此，第一四分位数有 25% 的项低于它，75% 的项高于它。这相当于数据集的第 25 个百分位数。

第二四分位数（Q2）是将按升序排列的数据对半分开的数值。因此，第二四分位数有 50%的项低于它，50%的项高于它。第二四分位数正好等于数据集的中位数和第 50个 百分位数。

第三四分位数（Q3）是将按升序排列的数据中最低的 75% 和最高的 25% 分隔开来的数值。因此，第三个四分位数有 75% 的项低于它，25% 的项高于它。这相当于数据集的第 75 个百分位数。

四分位数计算

可按照以下步骤找到四分位数：

• 按升序排列数据。
• 找出数据值的中位数。这就是第二个四分位数。
• 找出低于第二个四分位数的数值的中位数。这就是第一四分位数。
• 找出高于第二个四分位数的数值的中位数。这就是第三个四分位数。

示例 1

以下数据表示某高校新毕业会计师的起薪。请找出起薪的中位数（Q2）、每一四分位数（Q1）和第三四分位数（Q3），并对结果进行解释。

$55,000, $60,000, $52,000, $45,000, $74,000, $75,000, $48,000, $58,000, $72,000, $66,000, $45,000, $50,000, $54,000, $65,000, $71,000

解决方案

首先，我们将按递增顺序排列数据。

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

然后，我们找到第二四分位数即中位数的位置。

$$\text{第二四分位数(Q2)} = \text{第}\left(\frac{N+1}{2}\right)\text{项} = \text{第}\left(\frac{15+1}{2}\right)\text{项} = \text{第}8\text{项} = 58,000$$

接下来，找出 低于Q2数据值的中位数，从而得出 Q1。

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000

第一四分位数（Q1）=50,000 美元

然后，求出 高于Q2数据值的中位数，得出 Q3。

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

第三四分位数（Q3）= 71,000 美元。

可对上述四分位数做出如下解释：

25% 的新毕业会计师收入低于 50,000 美元，25% 的新毕业会计师收入高于 71,000 美元。50%的新毕业会计师收入超过 58,000 美元，而另外 50%的收入低于这一数字。

从上面的例子可以看出，对于奇数数据，四分位数将是原始数据值。然而，对于偶数数据，四分位数与原始值不一致。让我们修改上面的示例来了解这一点。

例 2

假设在例 1 的数据中漏掉了一个薪资数据。漏掉的薪资为 95,000 美元。求修改后的起薪中位数 (Q2)、下四分位数 (Q1) 和上四分位数 (Q3)。

解决方案

首先，我们将按递增顺序排列数据。

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

然后，我们将找到四分位数的位置。

$$\text{第二四分位数(Q2)} = \text{第}\left(\frac{N+1}{2}\right)\text{项} = \text{第}\left(\frac{16+1}{2}\right)\text{项} = \text{第}8.5\text{项}$$

$$\text{第二四分位数(Q2)} = \frac{\text{第}8\text{项}+\text{第}9\text{项}}{2} = \frac{58,000+60,000}{2} = 59,000$$

现在，将中位数处的数据集分为两组。求出 Q2 以下数据值的中位数，从而求出 Q1。

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000

第一四分位数（Q1）=（50,000 美元+52,000 美元）/2=51,000 美元。

接下来，找出 Q2 以上数据值的中位数，从而得出 Q3。

$60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

第三四分位数（Q3）=（71,000 美元+72,000 美元）/2=71,500 美元。

四分位间距

上四分位数（Q3）和下四分位数（Q1）之间的差值称为四分位间距。

• 四分位间距 (IQR) = 上四分位数 - 下四分位数
• 四分位间距 (IQR) = 第三四分位数 - 第一四分位数
• 四分位间距 (IQR) = Q3- Q1

四分位数间距剔除了数据数组中最低的 25% 项和最高的 25% 项。 换句话说，四分位数间距关注的是数据数组中间 50% 的分布。由于四分位数间距剔除了低于下四分位数的项目和高于上四分位数的项，因此四分位间距不含数据集的极端值或异常值。这就消除了范围计算的主要缺点。

示例 3

求例 1 的四分位间距。

解决方案

我们已经找到了数据范围的四分位数：

• 第一四分位数（Q1）=50,000 美元
• 第二四分位数（Q2）= 58,000 美元。
• 第三四分位数（Q3）= 71,000 美元。

让我们把上述数据应用到四分位数公式中。

四分位间距 (IQR) = 第三四分位数 (Q3)- 第一四分位数 (Q1) = 71,000 - 50,000 = 21,000美元

示例 4

求例 2 的四分位间距。

解决方案

我们已经找到了数据范围的四分位数：

• 第一四分位数（Q1）=51,000美元
• 第二四分位数（Q2）=59,000 美元。
• 第三四分位数（Q3）= 71 500 美元。

让我们将上述数据应用到四分位间距公式中。

四分位数间距 (IQR) = 第三四分位数 (Q3) - 第一四分位数 (Q1) = 71,500 - 51,000 = 20,500美元

最小值和最大值

数据集中的最小值是指数据集的最低值。按递增顺序排列数据集时，它是数据集的第一个值。

数据集中的最大值是指数据集中的最高值。按递增顺序排列数据集时，它是数据集的最后一个值。

最小值和最大值有助于了解数据集的离散度。极差是衡量离散程度的基本指标，它以数据集的最小值和最大值为基础。

示例 5

求例 1 中新毕业会计师起薪数据集的最小值和最大值。

解决方案

我们已将数据集按升序排列如下：

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000

最低工资是上述数组中的第一个工资数据。因此

新毕业会计师的最低起薪 = 45 000 美元

最高工资是上述数组中的最后一个工资数据。因此

新毕业会计师的最高起薪 = 75 000 美元

例 6

求例 2 中新毕业会计师起薪数据集的最小值和最大值。

解决方案

我们已将数据集按升序排列如下：

$45,000, $45,000, $48,000, $50,000, $52,000, $54,000, $55,000, $58,000, $60,000, $65,000, $66,000, $71,000, $72,000, $74,000, $75,000, $95,000

最低工资是上述数组中的第一个工资数据。因此

新毕业会计师的最低起薪 = 45 000 美元

最高工资是上述数组中的最后一个工资数据。因此

新毕业会计师的最高起薪 = 95 000 美元

数据集极差

统计中的极差是衡量数据集离散程度的最基本指标。它的计算方法是数据集中最大值与最小值之差。

数据集极差 = 最大值 - 最小值

数据集极差 = 最大值 - 最小值

极差是数据集极端值之间的总距离或总差值。它是衡量离散程度的一个粗略指标。

范围只取决于数据集中的两个极端值。如果极端值包含任何异常值，范围就很容易失真和偏差。 由于极差并非基于数据集的所有数据，因此并不能很好地反映离散程度。

例 7

求例 1 中新毕业会计师起薪数据集的极差

解决方案

在此之前，我们已经找到了数据集的最小值和最大值。

新毕业会计师的最低起薪为 45 000 美元。

新毕业会计师的最高起薪为 75 000 美元。

现在，我们将把上述值应用到极差公式中。

数据集极差 = 最大值 - 最小值 = 75 000 美元 - 45 000 美元 = 30 000 美元。

示例 8

求例 2 中新毕业会计师起薪数据集的极差。

解决方案

在此之前，我们已经找到了数据集的最小值和最大值。

新毕业会计师的最低起薪为 45 000 美元。

新毕业会计师的最高起薪为 95 000 美元。

现在，我们将把上述值应用到极差公式中：

数据集极差 = 最大值 - 最小值 = 95 000 美元 - 45 000 美元 = 50 000 美元。

##四分位数计算在现实生活中的应用

当我们希望消除数据集的极端值并研究其分布时，四分位数计算就非常有用。下面列出了使用四分位数进行决策的几个领域。

人力资源 - 在确定公司员工的薪资范围之前，先确定薪资的四分位数。这有助于剔除极低的薪资（如实习生薪资）和因员工经验丰富、才能出众而产生的极高薪资。

财务 - 在计划每月支出时，通过计算四分位数来了解过去的支出分布情况。这有助于避免预算过高或过低。

这有助于提供不受停电、罢工、材料缺货天数等因素影响的生产能力范围数据。

营销 - 营销人员在分析竞争对手的价格范围时，会确定竞争对手价格的四分位数。这样，他们就可以在分析过程中忽略低质量和高品牌产品的定价。