算术与几何序列计算器

这个数字序列计算器包括算术、几何和斐波那契或递归序列计算器。在每种情况下，序列计算器都会找到序列的第 n 项。

使用说明

算术序列计算器

使用算术序列计算器来找到算术序列的第 n 项。输入序列的第一个数字和公差（通常表示为 f）。然后输入 n 的值以获得序列的第 n 个数字。例如，如果您需要第二十项，输入 n = 20。计算器将返回第 20 项的值和所有项（包括第 20 项）的总和。

几何序列计算器

使用几何序列计算器来找到几何序列的第 n 项。输入序列的第一个数字、公比（通常表示为 r）和 n 的值。然后按“计算”。计算器将返回序列第 n 项的值和所有数字（包括第 n 项）的总和。

斐波那契序列计算器

使用斐波那契序列计算器来找到斐波那契序列的第 n 项。输入 n 的值，然后按“计算”。计算器将返回序列第 n 项的值和所有数字（包括第 n 项）的总和。

定义

数学序列

在数学中，数字序列被定义为按顺序排列的一系列数字。“按顺序”意味着每个数字都有一个固定的位置。数字序列表示为用逗号分隔并用花括号括起来的一系列数字。例如，{1, 3, 5, 7, 9} 或 {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}。

每个序列项表示为 aₙ，其中 n 是该项的编号。例如，在 {1, 3, 5, 7, 9} 序列中，a₁ = 1，a₂ = 3，依此类推。数字序列通常有一个规则，允许找到该序列的任何项。最常用的三种序列是算术序列、几何序列和斐波那契序列。

算术序列

在算术序列中，任何两个相邻项之间的差是一个常数。如果我们将该常数表示为 f，我们将得到 aₙ₊₁ - aₙ = f，对任何 n 都成立。一般来说，任何算术序列都可以写成以下形式：

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

任何算术序列的两个重要元素是第一项 a₁ 和常数 f，称为公差。知道这两个值，我们可以写下算术序列的规则：

aₙ = a₁ + f × (n-1)

例如，让我们找到以 a₁ = 2 和 f = 1.2 的算术序列的第 9 项。我们需要找到第 9 项。因此，n = 9。使用算术序列规则，我们立即得到以下结果：

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

几何序列

在几何序列中，每个项都可以通过将前一个项乘以一个非零常数来找到。该常数通常表示为 r，称为公比。在几何序列中，aₙ₊₁ = aₙ × r。一般来说，任何几何序列都可以写成以下形式：

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

知道第一个项和公比，几何序列的规则可以写成：

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

例如，让我们找到以 a₁ = 6，且 r = 2 的几何序列的第 5 项。我们需要找到第 5 项。因此，n = 5。

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

斐波那契序列

斐波那契序列如下：

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

在这个序列中，每个项都定义为前两个项的总和：

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

斐波那契序列的前两个项通常定义为 0 和 1。

与其他序列不同，斐波那契序列从 a₀ 开始，而不是 a₁！这意味着 a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2，依此类推。

黄金比例

斐波那契序列有许多有趣的性质，其中最值得注意的是黄金比例性质。这个性质意味着斐波那契序列中任何两个连续数字（从 a₃ 和 a₄ 开始）的比率接近黄金比例，大约估计为 1.618034，表示为 ϕ。序列的项越大，它们的比率越接近黄金比例。例如，

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

依此类推

黄金比例也可以用来通过以下公式找到斐波那契序列的项：

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

你使用的黄金比例值越准确，计算出的 aₙ 值越接近斐波那契序列中的相应整数。

真实生活中的例子

让我们看一个在现实生活中使用算术序列的例子。假设你想在一家餐厅组织一次节日晚宴。通常在这家餐厅，人们坐在小方桌旁，每张桌子可以坐四个人。

如果你把两张桌子放在一起，可以坐 6 个人。3 张桌子可以坐 8 个人，以此类推。餐厅只有 15 张桌子，而你带着一个 40 人的大团队来。是否有足够的桌子让每个人都坐在一张大的联合桌子上？

解答

上述情况描述了一个公差 f = 2 的算术序列：a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … 餐厅只有 15 张桌子。因此，序列的最后一项将是 a₁₅。要解决这个问题，我们需要计算 a₁₅ 的值，并将其与人数 - 40 进行比较。使用算术序列规则，我们将得到以下结果：

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

答案

将所有桌子放在一起只能提供 32 个座位，这不足以让所有客人坐在一张桌子上。