ماشین حساب ب.م.م

ماشین حساب بزرگترین مقسوم علیه مشترک

ماشین حساب بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م) یک ابزار آنلاین است که به شما امکان می‌دهد به سرعت و با دقت بزرگترین مقسوم علیه مشترک یک لیست از اعداد را پیدا کنید. این ابزار همچنین تمام عوامل اعداد در آن لیست را ارائه می‌دهد.

ب.م.م گاهی اوقات به عنوان بزرگترین مخرج مشترک، بزرگترین مقسوم علیه مشترک یا بالاترین مقسوم علیه مشترک نیز شناخته می‌شود. بنابراین، این ماشین حساب ب.م.م می‌تواند برای یافتن راه حل برای هر یک از این اصطلاحات استفاده شود.

دستورالعمل‌های استفاده

برای استفاده از یافتن ب.م.م، تمام اعداد را با جداکننده‌های کاما یا فاصله وارد کرده و دکمه "محاسبه" را فشار دهید. این ماشین حساب ب.م.م اعداد لیست شده را برمی‌گرداند و راه حل برای یافتن ارزش آن را نشان می‌دهد. ماشین حساب همیشه راه حل را از طریق تجزیه به عوامل نشان می‌دهد.

محدودیت‌ها در مقادیر ورودی

1. شما باید اعداد صحیح را وارد کنید.
2. فقط یکی از اعداد می‌تواند صفر باشد.
3. فقط می‌توانید اعداد صحیح مثبت را وارد کنید.

تعریف بزرگترین مقسوم علیه مشترک

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م)، که گاهی اوقات به عنوان بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م) نیز شناخته می‌شود، بزرگترین عدد صحیح مثبت است که دو یا چند عدد صحیح داده شده را بدون باقیمانده تقسیم می‌کند. این بزرگترین عددی است که تمام اعداد داده شده می‌توانند توسط آن تقسیم شوند. به عنوان مثال، ب.م.م 12 و 18 عدد 6 است، زیرا 6 بزرگترین عددی است که هم 12 و هم 18 را بدون باقیمانده تقسیم می‌کند.

در مواردی که صفر وجود دارد، ب.م.م مقدار مطلق عدد غیر صفر است، زیرا هر عدد صحیحی صفر را تقسیم می‌کند. با این حال، اگر تمام اعداد در مجموعه صفر باشند، ب.م.م تعریف نشده است.

برای مثال، عوامل عدد 12 عبارتند از 1، 2، 3، 4، 6، و 12. عوامل مشترک چندین عدد، عواملی هستند که می‌توانند تمام آن اعداد را بدون باقیمانده تقسیم کنند. به عنوان مثال، اگر می‌خواستیم تمام عوامل مشترک اعداد 12 و 16 را پیدا کنیم، ابتدا باید تمام عوامل هر عدد را لیست کنیم و سپس بررسی کنیم که کدام عوامل در هر دو لیست وجود دارند:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

عوامل مشترک اعداد داده شده (12 و 16) عبارتند از 1، 2، و 4. بزرگترین مقسوم علیه مشترک ساده‌ترین عدد بزرگ از این اعداد است. در مورد 12 و 16، ب.م.م 4 است.

چگونگی یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک

چندین روش برای یافتن ب.م.م چندین عدد وجود دارد. ساده‌ترین روش، راه حل تجزیه به عوامل است.

راه حل توسط تجزیه به عوامل

برای پیدا کردن ب.م.م با استفاده از این روش، مراحل ذکر شده در بالا را دنبال کنید - ابتدا، عوامل تمام اعداد در لیست را شناسایی کنید، سپس عوامل مشترک را پیدا کرده و بزرگترین آن‌ها را انتخاب کنید.

روش تجزیه به عوامل برای اعداد کوچکتر یا زمانی که عوامل اعداد به راحتی قابل شناسایی هستند، عملی‌تر است. برای اعداد بزرگتر، روش‌هایی مانند تجزیه به عوامل اول یا الگوریتم اقلیدس ممکن است کارآمدتر باشد.

مثال محاسبه

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 3، 9، و 48 را پیدا کنید.

راه حل:

• عوامل 3 عبارتند از 1 و 3.
• عوامل 9 عبارتند از 1، 3، و 9.
• عوامل 48 عبارتند از 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 16، 24، و 48.

عوامل مشترک عبارتند از 1 و 3. سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک 3 است.

پاسخ: ب.م.م = 3

تجزیه به عوامل اول

یکی دیگر از استراتژی‌ها برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک مجموعه‌ای از اعداد شامل مراحل زیر است:

1. تمام عوامل اول اعداد داده شده در مجموعه را پیدا کنید.
2. عوامل اول مشترک برای تمام اعداد مجموعه را لیست کنید.
3. برای به دست آوردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک، عوامل اول مشترک را در هم ضرب کنید.

مثال محاسبه

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 16، 24، و 76 را پیدا کنید.

راه حل

• تجزیه به عوامل اول 16: 2 × 2 × 2 × 2، یا 2⁴.
• تجزیه به عوامل اول 24: 2 × 2 × 2 × 3، یا 2³ × 3¹.
• تجزیه به عوامل اول 76: 2 × 2 × 19، یا 2² × 19¹.
• عوامل اول مشترک: 2 × 2، یا 2².

بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک: 2 × 2 = 2² = 4 است.

پاسخ: ب.م.م = 4

الگوریتم اقلیدس

این الگوریتم برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه‌های مشترک اعداد بزرگ، که استفاده از هر نوع تجزیه به عوامل بسیار دشوار و وقت‌گیر خواهد بود، بسیار مفید است. این الگوریتم که توسط اقلیدس توسعه یافته، از این واقعیت استفاده می‌کند که ب.م.م دو عدد m و n، که m > n است، همان ب.م.م دو عدد n و m - n است.

برای استفاده از این الگوریتم برای یافتن ب.م.م دو عدد m و n، شما باید به طور متوالی بزرگترین عدد از دو عدد را با اختلاف اعداد جایگزین کنید:

ابتدا، m را با m - n جایگزین کنید. حال شما مجموعه جدیدی از اعداد دارید: m - n و n.

بررسی کنید که کدام یک از اعداد بزرگتر است، و آن عدد را با اختلاف اعداد فعلی جایگزین کنید.

تکرار کنید تا دو عدد برابر شوند. آن عدد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک مجموعه اصلی اعداد خواهد بود.

مثال محاسبه

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد زیر را پیدا کنید: 124، 98.

راه حل

بزرگترین عدد در این مجموعه 124 است. بیایید آن را با تفاوت اعداد 124 - 98 = 26 جایگزین کنیم تا مجموعه زیر به دست آید:

26, 98

بزرگترین عدد در این مجموعه 98 است. بیایید آن را با تفاوت اعداد، (98 - 26) = 72 جایگزین کنیم تا مجموعه زیر به دست آید:

26, 72

ما می‌توانیم 26 را دو بار دیگر از عدد بزرگتر کم کنیم: 72 - 26 - 26 = 20. حالا مجموعه ما به این شکل است:

26, 20

در تکرار بعدی، 26 را با 26 - 20 = 6 جایگزین می‌کنیم تا

6, 20

بعد، 6 را از 20 کم می‌کنیم. ما می‌توانیم این عملیات را سه بار تکرار کنیم چون تفاوت نتیجه همچنان بزرگتر از 6 خواهد بود:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

حالا مجموعه ما به این شکل است:

6, 2

تکرارهای بعدی به این شکل است:

(6 - 2 = 4), 2 یا 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 یا 2, 2

حالا ما مجموعه‌ای از دو عدد برابر داریم:

2, 2

بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک 124 و 98، 2 است.

پاسخ: ب.م.م = 2

چرا ب.م.م فقط برای اعداد مثبت تعریف شده است

بزرگترین مقسوم علیه مشترک فقط برای اعداد مثبت تعریف می‌شود. ماشین حساب ب.م.م هم فقط اعداد صحیح مثبت را به عنوان ورودی می‌پذیرد. ب.م.م همیشه مثبت خواهد بود، حتی برای اعداد منفی. برای مثال، -4 یک مقسوم علیه -8 است. با این حال، 4 هم یک مقسوم علیه -8 است، چون -8 = 4 × (-2) است. از آنجا که بزرگترین مقسوم علیه مشترک همیشه بزرگترین تمام مقسوم علیه‌های مشترک است، همیشه مثبت خواهد بود.

ب.م.م عدد 0

بزرگترین مقسوم علیه مشترک یک عدد و صفر همیشه مقدار مطلق عدد غیر صفر است. این به این دلیل است که هر عددی مقسوم علیه صفر است. برای مثال، ب.م.م 8 و 0، 8 است، و ب.م.م -8 و 0، 8 است (مقدار مطلق -8).