महत्तम समापवर्तक गणक

महत्तम समापवर्तक कैलकुलेटर

महत्तम समापवर्तक गणक एक ऑनलाइन उपकरण है जो आपको संख्याओं की सूची का सबसे बड़ा समापवर्तक (GCF) जल्दी और सटीक रूप से खोजने की अनुमति देता है। यह उस सूची में संख्याओं के सभी कारक भी प्रदान करेगा।

GCF को कभी-कभी महत्तम सामान्य भाजक, महत्तम सामान्य विभाजक, या उच्चतम समापवर्तक कहा जाता है। इसलिए, इस GCF गणक का उपयोग उन शर्तों में से किसी के लिए समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

GCF खोजक का उपयोग करने के लिए, अल्पविराम या रिक्त स्थान से अलग किए गए सभी संख्याओं को दर्ज़ करें और "गणना करें" दबाएं। गणक सूचीबद्ध संख्याओं का GCF लौटाएगा और इसका मान ज्ञात करने के लिए समाधान प्रदर्शित करेगा। गणक हमेशा गुणनखंड द्वारा समाधान का वर्णन करेगा।

सभी आगत हटाने के लिए, "साफ़ करें" दबाएं।

आगत मूल्यों पर सीमाएं

1. आपको पूर्ण संख्याएं आगत करनी होंगी।
2. संख्याओं में से केवल एक ही शून्य हो सकता है।
3. आप केवल धनात्मक पूर्णांक प्रविष्ट कर सकते हैं।

महत्तम समापवर्तक की परिभाषा

महानतम सामान्य गुणनखंड (जीसीएफ), जिसे महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी) के रूप में भी जाना जाता है, उच्चतम धनात्मक पूर्णांक है जो दो या दो से अधिक दिए गए पूर्णांकों को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करता है। यह सबसे बड़ी संख्या है जिससे सभी दिए गए पूर्णांकों को विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12 और 18 का जीसीएफ 6 है, क्योंकि 6 सबसे बड़ी संख्या है जो 12 और 18 दोनों को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित कर देती है।

शून्य वाले मामलों में, जीसीएफ गैर-शून्य पूर्णांक का पूर्ण मान है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक शून्य को विभाजित करता है। हालाँकि, यदि सेट में सभी पूर्णांक शून्य हैं, तो GCF अपरिभाषित है।

उदाहरण के लिए, संख्या 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 होंगे। अनेक संख्याओं के सार्व गुणनखंड वे गुणनखंड हैं जो उन सभी संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें संख्या 12 और 16 के सभी सामान्य गुणनखंड ज्ञात करने हैं, तो हमें पहले प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंडों को सूचीबद्ध करना होगा और फिर जाँच करनी होगी कि दोनों सूचियों में कौन से गुणनखंड हैं:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

दी गई संख्याओं (12 और 16) के सामान्य गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं। महत्तम सामान्य गुणनखंड इन संख्याओं में से केवल सबसे बड़ा है। 12 और 16 के मामले में, GCF 4 है।

सबसे बड़ा समापवर्तक कैसे खोजें

कई संख्याओं का GCF ज्ञात करने के कई तरीके हैं। सबसे सीधा तरीका गुणनखंडन द्वारा हल करना है।

गुणनखंडन द्वारा हल

इस पद्धति का उपयोग करके GCF को खोजने के लिए, ऊपर वर्णित चरणों का पालन करें - पहले, सूची में सभी संख्याओं के कारकों की पहचान करें, फिर समापवर्तक खोजें और सबसे बड़ा चुनें।

गुणनखंडन विधि से समाधान छोटी संख्याओं के लिए या जब संख्याओं के कारक आसानी से पहचाने जाते हैं, तब अधिक व्यावहारिक होता है। बड़ी संख्याओं के लिए, प्राइम फैक्टराइजेशन या यूक्लिड का एल्गोरिथ्म जैसी विधियाँ अधिक कुशल हो सकती हैं।

गणना उदाहरण

संख्या 3, 9 और 48 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल:

• 3 के गुणनखंड 1, और 3 हैं।
• 9 के गुणनखंड 1, 3 और 9 हैं।
• 48 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 और 48 हैं।

सार्व गुणनखंड 1 और 3 हैं। तब महत्तम समापवर्तक 3 है।

उत्तर: GCF = 3

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

संख्याओं के एक समूह का महत्तम समापवर्तक खोजने की एक अन्य रणनीति में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. दिए गए समुच्चय में संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
2. सभी समूह संख्याओं के लिए सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाएं।
3. महत्तम समापवर्तक प्राप्त करने के लिए, उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करें।

गणना उदाहरण

16, 24 और 76 की संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

हल

• 16 का अभाज्य गुणनखंड है: 2 × 2 × 2 × 2, या 2⁴।
• 24 का अभाज्य गुणनखंड है: 2 × 2 × 2 × 3, या 2³ × 3¹।
• 76 का अभाज्य गुणनखंड है: 2 × 2 × 19, या 2² × 19¹।
• सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 × 2, या 2²।

इसलिए, सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड है: 2 × 2 = 2² = 4

उत्तर: GCF = 4

यूक्लिड की कलन विधि

यह कलन विधि बड़ी संख्या के महत्तम समापवर्तक को खोजने के लिए आसान है, जहां किसी भी प्रकार के गुणन का उपयोग करना बहुत बोझिल और समय लेने वाला होगा। यूक्लिड द्वारा विकसित यह कलन विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि दो संख्याओं m और n का GCF, जहाँ m> n, दो संख्याओं n और m - n के GCF के समान है।

दो संख्याओं m और n के GCF को खोजने के लिए इस कलन विधि का उपयोग करने के लिए, आपको संख्याओं के अंतर के साथ दो संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को लगातार बदलना होगा:

सबसे पहले, m को m - n से बदलें। अब आपके पास संख्याओं का एक नया समूह है: m - n और n।

जांचें कि कौन सी संख्या बड़ी है, और उस संख्या को वर्तमान संख्याओं के बीच के अंतर से बदलें।

तब तक दोहराएं जब तक कि दो संख्या बराबर न हो जाएं। वह संख्या मूल संख्याओं के समुच्चय का महत्तम समापवर्तक होगा।

गणना उदाहरण

निम्नलिखित संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए: 124, 98।

हल

इस समुच्चय में बड़ी संख्या 124 है। आइए इसे संख्या 124 - 98 = 26 के अंतर से प्रतिस्थापित करें ताकि हमें निम्नलिखित समुच्चय प्राप्त हो:

26, 98

इस समुच्चय में बड़ी संख्या 98 है। आइए इसे संख्याओं के अंतर से बदलें, (98 - 26) = 72 ताकि हमें निम्नलिखित समुच्चय प्राप्त हो:

26, 72

हम बड़ी संख्या में से 26 को दो बार और घटा सकते हैं: 72 - 26 - 26 = 20। अब हमारा समूह इस तरह दिखता है:

26, 20

निम्नलिखित पुनरावृत्ति में, हम 26 के स्थान पर 26 - 20 = 6 प्राप्त करते हैं

6, 20

इसके बाद, हम 20 में से 6 घटाते हैं। हम इस संचालन को तीन बार दोहरा सकते हैं क्योंकि परिणामी अंतर अभी भी 6 से अधिक होगा:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

अब हमारा समूह है:

6, 2

निम्नलिखित पुनरावृत्तियाँ हैं:

(6 - 2 = 4), 2 या 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 या 2, 2

अब हमारे पास दो बराबर संख्याओं का एक समूह है:

2, 2

इसलिए, 124 और 98 का महत्तम समापवर्तक 2 है।

उत्तर: GCF = 2

GCF को केवल धनात्मक संख्याओं के लिए ही क्यों परिभाषित किया जाता है

महत्तम समापवर्तक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है। GCF गणक भी आगत के रूप में केवल धनात्मक पूर्णांक लेता है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी GCF हमेशा धनात्मक रहेगा। उदाहरण के लिए, -4, -8 का गुणनखंड है। हालाँकि, 4 भी -8 का एक गुणनखंड है, क्योंकि -8 = 4 × (-2) है। चूंकि महत्तम समापवर्तक हमेशा सभी सामान्य कारकों में सबसे बड़ा होता है, यह हमेशा धनात्मक होगा।

0 का महत्तम समापवर्तक

किसी संख्या और शून्य का सबसे बड़ा सामान्य गुणक हमेशा गैर-शून्य संख्या का निरपेक्ष मान होता है। यह इसलिए है क्योंकि कोई भी संख्या शून्य का विभाजक होती है। उदाहरण के लिए, 8 और 0 का सबसे बड़ा सामान्य गुणक 8 है, और -8 और 0 का सबसे बड़ा सामान्य गुणक 8 है (यह -8 का निरपेक्ष मान है)।