GCF-Rekenmachine

De Grootste Gemene Deler Rekenmachine

De rekenmachine voor de grootste gemene deler is een online hulpmiddel dat je in staat stelt om snel en nauwkeurig de grootste gemene deler (GGD) van een lijst met getallen te vinden. Het zal ook alle factoren van de getallen in die lijst verstrekken.

De GGD wordt soms aangeduid als de grootste gemene noemer, de grootste gemeenschappelijke deler, of de hoogste gemene factor. Deze GGD-rekenmachine kan daarom worden gebruikt om de oplossing voor een van deze termen te vinden.

Gebruiksaanwijzing

Om de GGD-vinder te gebruiken, voer alle getallen in, gescheiden door komma's of spaties, en druk op “Bereken.” De rekenmachine zal de GGD van de opgegeven getallen retourneren en zal de oplossing voor het vinden van de waarde demonstreren. De rekenmachine zal altijd de oplossing door factorisatie illustreren.

Beperkingen op de invoerwaarden

1. Je moet hele getallen invoeren.
2. Slechts één van de getallen kan nul zijn.
3. Je kunt alleen positieve gehele getallen invoeren.

De Definitie van de Grootste Gemene Deler

De Grootste Gemene Deler (GGD), ook bekend als de Grootste Gemeenschappelijke Deler (GGD), is het hoogste positieve geheel getal dat twee of meer gegeven gehele getallen deelt zonder een rest achter te laten. Het is het grootste getal waardoor alle gegeven gehele getallen kunnen worden gedeeld. Bijvoorbeeld, de GGD van 12 en 18 is 6, omdat 6 het grootste getal is dat zowel 12 als 18 deelt zonder enige rest achter te laten.

In gevallen met nul is de GGD de absolute waarde van het niet-nul geheel getal, aangezien elk geheel getal nul deelt. Echter, als alle gehele getallen in de set nul zijn, is de GGD ongedefinieerd.

Bijvoorbeeld, de factoren van getal 12 zouden 1, 2, 3, 4, 6 en 12 zijn. De gemeenschappelijke factoren van meerdere getallen zijn die factoren die al die getallen kunnen delen zonder resten. Bijvoorbeeld, als we alle gemeenschappelijke factoren van de getallen 12 en 16 moesten vinden, zouden we eerst alle factoren van elk getal moeten opsommen en dan controleren welke factoren op beide lijsten staan:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

De gemeenschappelijke factoren van de gegeven getallen (12 en 16) zijn 1, 2, en 4. De grootste gemene deler is eenvoudigweg het grootste van deze getallen. In het geval van 12 en 16, is de GGD 4.

Hoe de Grootste Gemene Deler te Vinden

Er zijn verschillende manieren om de GGD van meerdere getallen te vinden. De meest eenvoudige is de oplossing door factorisatie.

Oplossing door factorisatie

Om de GGD met deze methode te vinden, volg de bovenstaande stappen — identificeer eerst de factoren van alle getallen in de lijst, vind vervolgens de gemeenschappelijke factoren en kies de grootste.

De oplossing door factorisatie methode is praktischer voor kleinere getallen of wanneer de factoren van de getallen gemakkelijk te identificeren zijn. Voor grotere getallen kunnen methoden zoals priemfactorisatie of het algoritme van Euclides efficiënter zijn.

Rekenvoorbeeld

Vind de grootste gemene deler van de getallen 3, 9 en 48.

Oplossing:

• De factoren van 3 zijn 1, en 3.
• De factoren van 9 zijn 1, 3, en 9.
• De factoren van 48 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 8,

12, 16, 24, en 48.

Gemeenschappelijke factoren zijn 1 en 3. Dan is de grootste gemene deler 3.

Antwoord: GGD = 3

Priemfactorisatie

Een andere strategie voor het vinden van de grootste gemene deler van een reeks getallen bestaat uit de volgende stappen:

1. Vind alle priemfactoren van de getallen in de gegeven set.
2. Lijst de gemeenschappelijke priemfactoren op voor alle getallen in de set.
3. Om de grootste gemene deler te krijgen, vermenigvuldig de gemeenschappelijke priemfactoren.

Rekenvoorbeeld

Vind de grootste gemene deler van de getallen 16, 24 en 76.

Oplossing

• De priemfactorisatie van 16 is: 2 × 2 × 2 × 2, of 2⁴.
• De priemfactorisatie van 24 is: 2 × 2 × 2 × 3, of 2³ × 3¹.
• De priemfactorisatie van 76 is: 2 × 2 × 19, of 2² × 19¹.
• De gemeenschappelijke priemfactoren zijn: 2 × 2, of 2².

Daarom is de grootste gemene deler: 2 × 2 = 2² = 4

Antwoord: GGD = 4

Euclides' algoritme

Dit algoritme is handig voor het vinden van de grootste gemene delers van grote getallen, waarbij elk type factorisatie erg omslachtig en tijdrovend zou zijn. Dit algoritme, ontwikkeld door Euclides, gebruikt het feit dat de GGD van de twee getallen m en n, waarbij m > n, hetzelfde is als de GGD van de twee getallen n en m - n.

Om dit algoritme te gebruiken voor het vinden van de GGD van de twee getallen m en n, moet je opeenvolgend het grootste van de twee getallen vervangen door het verschil van de getallen:

Vervang eerst m door m - n. Nu heb je een nieuwe set getallen: m - n en n.

Controleer welk van de getallen groter is, en vervang dat getal door het verschil tussen de huidige getallen.

Herhaal dit totdat de twee getallen gelijk worden. Dat getal zal de grootste gemene deler van de oorspronkelijke set getallen zijn.

Rekenvoorbeeld

Vind de grootste gemene deler van de volgende getallen: 124, 98.

Oplossing

Het grotere getal in deze set is 124. Laten we het vervangen door het verschil in getallen 124 - 98 = 26, zodat we de volgende set krijgen:

26, 98

Het grotere getal in deze set is 98. Laten we het vervangen door het verschil in getallen, (98 - 26) = 72, zodat we de volgende set krijgen:

26, 72

We kunnen 26 nog twee keer aftrekken van het grotere getal: 72 - 26 - 26 = 20. Nu ziet onze set er als volgt uit:

26, 20

In de volgende iteratie vervangen we 26 door 26 - 20 = 6 om te krijgen

6, 20

Vervolgens trekken we 6 af van 20. We kunnen deze bewerking drie keer herhalen, aangezien het resulterende verschil nog steeds groter zal zijn dan 6:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Nu is onze set:

6, 2

De volgende iteraties zijn:

(6 - 2 = 4), 2 of 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 of 2, 2

Nu hebben we een set van twee gelijke getallen:

2, 2

Daarom is de grootste gemene deler van 124 en 98 gelijk aan 2.

Antwoord: GGD = 2

Waarom is de GGD alleen gedefinieerd voor positieve getallen

De grootste gemene deler is alleen gedefinieerd voor positieve getallen. De GGD-rekenmachine accepteert ook alleen positieve gehele getallen als invoer. De GGD zal altijd positief zijn, zelfs voor negatieve getallen. Bijvoorbeeld, -4 is een factor van -8. Echter, 4 is ook een factor van -8, aangezien -8 = 4 × (-2). Aangezien de grootste gemene deler altijd de grootste van alle gemeenschappelijke factoren is, zal deze altijd positief zijn.

De grootste gemene deler van 0

De grootste gemene deler van een getal en nul is altijd de absolute waarde van het niet-nul getal. Dit komt omdat elk getal een deler van nul is. Bijvoorbeeld, de GGD van 8 en 0 is 8, en de GGD van -8 en 0 is 8 (de absolute waarde van -8).