Kalkulator NWD

Kalkulator Największego Wspólnego Dzielnika

Kalkulator największego wspólnego dzielnika to narzędzie online, które pozwala szybko i dokładnie znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) listy liczb. Będzie on również dostarczać wszystkie dzielniki liczb z tej listy.

NWD jest czasami określany jako największy wspólny mianownik, największy wspólny dzielnik lub najwyższy wspólny czynnik. Dlatego kalkulator NWD może być używany do znajdowania rozwiązania dla któregokolwiek z tych terminów.

Instrukcje użytkowania

Aby użyć wyszukiwarki NWD, wprowadź wszystkie liczby oddzielone przecinkami lub spacjami i naciśnij „Oblicz”. Kalkulator zwróci NWD podanych liczb i zademonstruje rozwiązanie, jak znaleźć jego wartość. Kalkulator zawsze zilustruje rozwiązanie przez faktoryzację.

Ograniczenia wartości wejściowych:

1. Musisz wprowadzić liczby całkowite.
2. Tylko jedna z liczb może być zerem.
3. Możesz wprowadzać tylko dodatnie liczby całkowite.

Definicja Największego Wspólnego Dzielnika

Największy Wspólny Dzielnik (NWD), znany również jako Największy Wspólny Czynnik (NWC), to najwyższa dodatnia liczba całkowita, która dzieli dwie lub więcej podanych liczb całkowitych bez pozostawienia reszty. Jest to największa liczba, przez którą wszystkie podane liczby całkowite mogą być podzielone. Na przykład, NWD liczb 12 i 18 to 6, ponieważ 6 jest największą liczbą, która dzieli zarówno 12, jak i 18 bez pozostawienia reszty.

W przypadkach z zerem, NWD jest wartością bezwzględną niezerowej liczby całkowitej, ponieważ każda liczba całkowita dzieli zero. Jednakże, jeśli wszystkie liczby całkowite w zestawie to zera, NWD jest niezdefiniowane.

Na przykład, dzielniki liczby 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Wspólne dzielniki kilku liczb to te dzielniki, które mogą dzielić wszystkie te liczby bez reszty. Na przykład, jeśli musielibyśmy znaleźć wszystkie wspólne dzielniki liczb 12 i 16, najpierw musielibyśmy wymienić wszystkie dzielniki każdej liczby, a następnie sprawdzić, które dzielniki znajdują się na obu listach:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

Wspólne dzielniki podanych liczb (12 i 16) to 1, 2 i 4. Największy wspólny dzielnik to po prostu największa z tych liczb. W przypadku liczb 12 i 16, NWD to 4.

Jak znaleźć Największy Wspólny Dzielnik

Istnieje kilka sposobów na znalezienie NWD kilku liczb. Najprostszym z nich jest rozwiązanie przez faktoryzację.

Rozwiązanie przez faktoryzację

Aby znaleźć NWD tą metodą, postępuj zgodnie z powyższymi krokami — najpierw zidentyfikuj dzielniki wszystkich liczb na liście, następnie znajdź wspólne dzielniki i wybierz największy z nich.

Rozwiązanie przez faktoryzację jest bardziej praktyczne dla mniejszych liczb lub gdy dzielniki liczb są łatwo rozpoznawalne. Dla większych liczb metody takie jak faktoryzacja pierwsza lub algorytm Euklidesa mogą być bardziej efektywne.

Przykład obliczenia

Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 3, 9 i 48.

Rozwiązanie:

• Dzielniki liczby 3 to 1 i 3.
• Dzielniki liczby 9 to 1, 3 i 9.
• Dzielniki liczby 48 to 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 i 48.

Wspólne dzielniki to 1 i 3. Więc największy wspólny dzielnik to 3.

Odpowiedź: NWD = 3

Faktoryzacja Liczb Pierwszych

Inna strategia znajdowania największego wspólnego dzielnika zestawu liczb składa się z następujących kroków:

1. Znajdź wszystkie czynniki pierwsze liczb w danym zestawie.
2. Wypisz wspólne czynniki pierwsze dla wszystkich liczb w zestawie.
3. Aby uzyskać największy wspólny dzielnik, pomnóż wspólne czynniki pierwsze.

Przykład obliczenia

Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 16, 24 i 76.

Rozwiązanie

• Rozkład na czynniki pierwsze liczby 16 to: 2 × 2 × 2 × 2, czyli 2⁴.
• Rozkład na czynniki pierwsze liczby 24 to: 2 × 2 × 2 × 3, czyli 2³ × 3¹.
• Rozkład na czynniki pierwsze liczby 76 to: 2 × 2 × 19, czyli 2² × 19¹.
• Wspólne czynniki pierwsze to: 2 × 2, czyli 2².

Zatem największy wspólny dzielnik to: 2 × 2 = 2² = 4

Odpowiedź: NWD = 4

Algorytm Euklidesa

Ten algorytm jest przydatny do znajdowania największych wspólnych dzielników dużych liczb, gdzie użycie jakiegokolwiek rodzaju faktoryzacji byłoby bardzo uciążliwe i czasochłonne. Algorytm ten, opracowany przez Euklidesa, wykorzystuje fakt, że NWD dwóch liczb m i n, gdzie m > n, jest taki sam jak NWD dwóch liczb n i m - n.

Aby użyć tego algorytmu do znalezienia NWD dwóch liczb m i n, musisz kolejno zastępować większą z tych dwóch liczb różnicą tych liczb:

Najpierw zastąp m przez m - n. Teraz masz nowy zestaw liczb: m - n i n.

Sprawdź, która z liczb jest większa i zastąp tę liczbę różnicą między bieżącymi liczbami.

Powtarzaj, aż obie liczby staną się równe. Ta liczba będzie największym wspólnym dzielnikiem oryginalnego zestawu liczb.

Przykład obliczenia

Znajdź największy wspólny dzielnik następujących liczb: 124, 98.

Rozwiązanie

Większą liczbą w tym zestawie jest 124. Zastąpmy ją różnicą liczb 124 - 98 = 26, aby otrzymać następujący zestaw:

26, 98

Większą liczbą w tym zestawie jest 98. Zastąpmy ją różnicą liczb, (98 - 26) = 72, aby otrzymać następujący zestaw:

26, 72

Możemy odjąć 26 od większej liczby jeszcze dwa razy: 72 - 26 - 26 = 20. Teraz nasz zestaw wygląda tak:

26, 20

W kolejnej iteracji zastąpimy 26 przez 26 - 20 = 6, aby uzyskać:

6, 20

Następnie odejmujemy 6 od 20. Możemy powtórzyć tę operację trzy razy, ponieważ wynikająca z tego różnica nadal będzie większa niż 6:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Teraz nasz zestaw to:

6, 2

Kolejne iteracje to:

(6 - 2 = 4), 2 lub 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 lub 2, 2

Teraz mamy zestaw dwóch równych liczb:

2, 2

Zatem największy wspólny dzielnik 124 i 98 to 2.

Odpowiedź: NWD = 2

Dlaczego NWD jest zdefiniowane tylko dla liczb dodatnich

Największy wspólny dzielnik jest zdefiniowany tylko dla liczb dodatnich. Kalkulator NWD również akceptuje tylko dodatnie liczby całkowite jako dane wejściowe. NWD zawsze będzie dodatni, nawet dla liczb ujemnych. Na przykład, -4 jest dzielnikiem -8. Jednak 4 jest również dzielnikiem -8, ponieważ -8 = 4 × (-2). Ponieważ największy wspólny dzielnik jest zawsze największym ze wszystkich wspólnych dzielników, zawsze będzie dodatni.

Największy wspólny dzielnik z 0

Największy wspólny dzielnik liczby i zera jest zawsze wartością bezwzględną niezerowej liczby. Wynika to z faktu, że każda liczba jest dzielnikiem zera. Na przykład, NWD 8 i 0 to 8, a NWD -8 i 0 to 8 (wartość bezwzględna -8).