GCF Hesaplayıcı

En Büyük Ortak Çarpan Hesaplayıcı

En büyük ortak çarpan hesaplayıcı, bir sayı listesinin en büyük ortak çarpanını (GCF) hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlayan çevrimiçi bir araçtır. Ayrıca, bu listedeki sayıların tüm çarpanlarını da sağlar.

GCF bazen en büyük ortak payda, en büyük ortak bölen veya en yüksek ortak çarpan olarak da adlandırılır. Bu GCF hesaplayıcı, bu terimlerin herhangi biri için çözümü bulmak için kullanılabilir.

Kullanım Talimatları

GCF bulucuyu kullanmak için, tüm sayıları virgül veya boşluklarla ayırarak girin ve "Hesapla" butonuna basın. Hesaplayıcı, listelenen sayıların GCF'sini döndürecek ve değerini bulmak için çözümü gösterecektir. Hesaplayıcı her zaman çözümü çarpanlara ayırma yöntemiyle gösterecektir.

Giriş değerlerinin sınırlamaları

1. Tam sayı girmelisiniz.
2. Sayılardan sadece biri sıfır olabilir.
3. Sadece pozitif tamsayılar girilebilir.

En Büyük Ortak Çarpanın Tanımı

En Büyük Ortak Çarpan (GCF), aynı zamanda En Büyük Ortak Bölen (GCD) olarak da bilinir, iki veya daha fazla verilen tamsayıyı kalan bırakmadan bölebilen en yüksek pozitif tamsayıdır. Verilen tüm tamsayıların bölünebileceği en büyük sayıdır. Örneğin, 12 ve 18'in GCF'si 6'dır, çünkü 6 hem 12'yi hem de 18'i kalan bırakmadan bölebilen en büyük sayıdır.

Sıfır içeren durumlarda, GCF sıfır olmayan tamsayının mutlak değeridir, çünkü her tamsayı sıfırı böler. Ancak, kümedeki tüm tamsayılar sıfır ise, GCF tanımsızdır.

Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Birkaç sayının ortak çarpanları, o sayıların tümünü kalan bırakmadan bölebilen çarpanlardır. Örneğin, 12 ve 16 sayılarının tüm ortak çarpanlarını bulmak için önce her sayının tüm çarpanlarını listelememiz ve sonra hangi çarpanların her iki listede de olduğunu kontrol etmemiz gerekir:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

Verilen sayıların (12 ve 16) ortak çarpanları 1, 2 ve 4'tür. En büyük ortak çarpan, bu sayılardan en büyüğüdür. 12 ve 16'nın durumunda, GCF 4'tür.

En Büyük Ortak Çarpan Nasıl Bulunur

Birkaç sayının GCF'sini bulmanın birkaç yolu vardır. En basit yöntem çarpanlara ayırma çözümüdür.

Çarpanlara ayırma çözümü

Bu yöntemi kullanarak GCF'yi bulmak için, yukarıda açıklanan adımları izleyin — önce, listedeki tüm sayıların çarpanlarını belirleyin, sonra ortak çarpanları bulun ve en büyüğünü seçin.

Çarpanlara ayırma yöntemi, sayılar küçükken veya sayıların çarpanları kolayca tanımlanabildiğinde daha pratiktir. Daha büyük sayılar için, asal çarpanlara ayırma veya Öklid algoritması gibi yöntemler daha verimli olabilir.

Hesaplama Örneği

3, 9 ve 48 sayılarının en büyük ortak çarpanını bulun.

Çözüm:

• 3'ün çarpanları 1 ve 3'tür.
• 9'un çarpanları 1, 3 ve 9'dur.
• 48'in çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ve 48'dir.

Ortak çarpanlar 1 ve 3'tür. O zaman en büyük ortak çarpan 3'tür.

Cevap: GCF = 3

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayı kümesinin en büyük ortak çarpanını bulmak için kullanılan başka bir strateji, aşağıdaki adımları içerir:

1. Verilen kümedeki sayıların tüm asal çarpanlarını bulun.
2. Tüm küme sayıları için ortak asal çarpanları listele.
3. En büyük ortak çarpanı elde etmek için, ortak asal çarpanları çarp.

Hesaplama Örneği

16, 24 ve 76 sayılarının en büyük ortak çarpanını bulun.

Çözüm

• 16'nın asal çarpanları: 2 × 2 × 2 × 2, ya da 2⁴.
• 24'ün asal çarpanları: 2 × 2 × 2 × 3, ya da 2³ × 3¹.
• 76'nın asal çarpanları: 2 × 2 × 19, ya da 2² × 19¹.
• Ortak asal çarpanlar: 2 × 2, ya da 2².

Bu nedenle, en büyük ortak çarpan: 2 × 2 = 2² = 4'tür

Cevap: GCF = 4

Öklid Algoritması

Bu algoritma, büyük sayıların en büyük ortak çarpanlarını bulmak için kullanışlıdır, burada herhangi bir çarpanlara ayırma türü çok zahmetli ve zaman alıcı olurdu. Öklid tarafından geliştirilen bu algoritma, m ve n iki sayısının, m > n olduğu durumda, m ve n - m iki sayısının GCF'ının aynı olduğu gerçeğini kullanır.

Bu algoritmayı iki sayı m ve n'nin GCF'ını bulmak için kullanmak için, iki sayıdan en büyüğünü sayıların farkı ile sürekli değiştirmeniz gerekir:

İlk olarak, m'yi m - n ile değiştirin. Şimdi yeni bir sayı kümeniz var: m - n ve n.

Hangi sayının daha büyük olduğunu kontrol edin ve o sayıyı mevcut sayılar arasındaki fark ile değiştirin.

İki sayı eşit olana kadar tekrarlayın. Bu sayı, orijinal sayı kümesinin en büyük ortak çarpanı olacaktır.

Hesaplama Örneği

Aşağıdaki sayıların en büyük ortak çarpanını bulun: 124, 98.

Çözüm

Bu kümedeki daha büyük sayı 124'tür. Bunu sayılar arasındaki farkla 124 - 98 = 26 olarak değiştirelim ve böylece şu küme elde edilir:

26, 98

Bu kümedeki daha büyük sayı 98'dir. Bunu sayılar arasındaki farkla, (98 - 26) = 72 olarak değiştirelim ve böylece şu küme elde edilir:

26, 72

Büyük sayıdan 26'yı iki kez daha çıkarabiliriz: 72 - 26 - 26 = 20. Şimdi kümemiz şöyle görünüyor:

26, 20

Sonraki yinelemede, 26'yı 26 - 20 = 6 ile değiştiririz ve elde ederiz:

6, 20

Sonraki adımda, 20'den 6 çıkarırız. Bu işlemi, sonuç farkı 6'dan büyük olduğu sürece üç kez tekrarlayabiliriz:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Şimdi kümemiz:

6, 2

Sonraki yinelemeler şunlardır:

(6 - 2 = 4), 2 veya 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 veya 2, 2

Artık iki eşit sayılı bir kümemiz var:

2, 2

Bu nedenle, 124 ve 98'in en büyük ortak çarpanı 2'dir.

Cevap: GCF = 2

GCF Neden Sadece Pozitif Sayılar İçin Tanımlanır

En büyük ortak çarpan sadece pozitif sayılar için tanımlanmıştır. GCF hesaplayıcı da yalnızca pozitif tamsayıları girdi olarak kabul eder. GCF her zaman pozitif olacaktır, negatif sayılar için bile. Örneğin, -4, -8'in bir çarpanıdır. Ancak, 4 de -8'in bir çarpanıdır, çünkü -8 = 4 × (-2). En büyük ortak çarpan her zaman tüm ortak çarpanların en büyüğü olduğu için her zaman pozitif olacaktır.

0'ın En Büyük Ortak Çarpanı

Bir sayı ve sıfırın en büyük ortak çarpanı her zaman sıfır olmayan sayının mutlak değeridir. Bunun nedeni, herhangi bir sayının sıfırın bir böleni olmasıdır. Örneğin, 8 ve 0'ın GCF'si 8'dir ve -8 ve 0'ın GCF'si 8'dir (-8'in mutlak değeri).